其中cj表示第二次分配时占总数60%的会员归还的第j种DVD的数量cj??xi1di，
i?11000di随机生成，为1表示第i个人在该月内两次租赁DVD，反之为0。
一个月内95%以上的会员看到自己想看到的DVD的约束：
ei?xi1 ei?xi2 ei???xij1???xij2
i?1j?1i?1j?11000i?1100010010001?e?950 0?e?1
iiei?1表示第i个人在一个月之内至少可以看到一张DVD，上式中，反之为0。
4.4 .1.2模型求解
求解上述模型，可以得到在限定每个会员每月最多租赁2次DVD的情况下，
对于上述问题，要使网站所获得的总利润最大网站应该制定时的会员每月最多可获得2张DVD，此时网站可盈利。并且，1000位会员的个人满意度统计如下：
个人满意度500450400350300250200个人满意度150100500-0.4-0.200.20.40.60.81图2 个人满意度
上图中，横轴表示个人满意度，纵轴表示相应个人满意度的会员。此时，
会员的满意度可以达到0.8。在本问题所给的情况下，对于限制每月最多租赁两次的情况下，允许会员每次借2张DVD网站所获得的经济效益会较好。 4.4 .2对于网络经营方式的一些建议
为了在购买新DVD时能够准确地对需求进行预测，建议网站的调查表可以设计为让每位会员按其偏爱程度给出自己感兴趣的十张DVD，这时再考虑具体购买新的DVD。此时相当于已经有了一个具体的订单，这样会使购买方案更加精确、合理。
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五、结果分析与检验
5.1 模型评价
(1)问题一建立的简易和精确模型，两者相互印证、更好的说明所建模型
的正确合理性。从所建两个模型的计算结果来看，可以发现两个模型是存在差别的。简易模型的误差之所以存在是因为考虑的情况不全面，因此精确模型的可靠性还是比较高的。
(2)问题三对每一种DVD均满足95%的会员的观看，这样既能满足题目要求
使DVD总数达到满足95%的会员观看，又能使满足度达到最大。
(3)问题四考虑了每月最大租赁次数m和每次最多租赁DVD数目n对网站
经营利润的影响，建立0—1规划模型将m限定在一个较小的范围内，对最优租赁次数进行多次验证，发现会员满意度在允许会员每次借2张DVD时网站才能获得最大经济效益，并且因为所用的求解数据均为人为设定的，结果难免会有一定误差。 5.2 模型改进
上文中所涉及到的0-1整数规划模型，是一个NP难问题，在小规模情况下可以直接用LINGO软件求得最优解，但当规模很大时就无法使用。所以对于一般的大规模问题，就必须对此模型进行改进，我们将其转化为一个有多项式时间算法可解的模型并对决策变量的0-1整数约束进行松弛处理，将约束条件：
xij?0或1?i=1,2,N;j?1,2,N;j?1,2,n?
改为： 0?xij'?1?i?1,2,得到数学模型：
n?
??QQijNnijmaxi?1j?1N?n??xij'?m?i?1,2,N??j?1?Ns..t??xij'?cj?j?1,2,n??i?1?0?xij'?1?i?1,2,N;j?1,2,??n?
这是一个线性规划模型，有多项时间算法可解。因此可以用来求解大规模问题。设用此松弛模型得到的最优解为:
X?'??xij?'??i?1,2,N;j?1,2,n?
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??对其中的某一个xij'，若xij'?0或1，则松弛条件模型的最优解即为原整数规划
?模型对应变量的最优解，否则，我们可以定义xij为一个随机解，即xij以xij'的
?概率为1，以1?xij'的概率为0。
然后为了将随机解确定下来，分别以它们各自的概率计算得到一组确定的解。若
?解不可行，则对导致解不可行的那些随机解xij依xij'从小到大依次变换调整，直
至解可行，由此得到一组解即为满意解。
六、模型评价
6.1 模型优缺点
优点：
(1)问题一建立模型一通过简单计算得出DVD的购买数量，并建立模型二验证模型一的准确性。
(2)根据实际情况设置上下限确定需要购买j种DVD的数量，将上下限作为约束条件是问题更准确
(3)应用0-1整数规划模型完整地描述了本问题，对于如本题中的实例这种小规模问题可快速求解 缺点：
(1)在已知满足1000个会员的满意度下的DVD的数量的情况下按照比例推出10万个会员的满意度的DVD的数量，这样虽然避免大的计算量，但是使结果的误差变大，而且调查具有随机性。由于数据量不够充足使得我们所求得j种
DVD的数量存在误差。
(2)在实际中，租赁分配又是一个复杂的数学问题存在着大量的不确定。例如：网站会员数量，会员对不同DVD的偏爱度，会员的租赁时间，租赁的DVD的数目以及归还的时间等等，所以我们的模型就会有一定程度的偏差。
七、参考文献
[1]郭科、胥泽银《最优化方法及其程序设计》四川科学技术出版社.1998.8 [2]甘应爱等《运筹学》北京:清华大学出版社.2004
[3]姚恩瑜、何勇等 《数学规划于组合优化》杭州：浙江大学出版社.2003. [4]汪裕钊、辛培清等 《数学模型与计算机模拟》成都：电子科技大学出版社.1989.
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[5]司守奎、孙玺菁、张德存、周刚、韩庆龙等 《数学建模算法与应用习题解 答》国防工业出版社.2013年.
[6]吴黎军、田存福 《名额分配问题的0-1整数规划模型》工程数学学报，第21卷第1期，P135-138，2004.
附录一
问题二附录
model: sets:
DVD/1..100/:total;!total为网站现有DVDj的数量; huiyuan/1..1000/; !自定义0-1向量; pianai(huiyuan,DVD):ONE;
bianliang(huiyuan,DVD):data1; Endsets
!目标函数（总体满意度最大）;
max=@sum(pianai(i,j):data1(i,j)*ONE(i,j)); ! x (i,j) ,t (i)为0-1变量; @for(bianliang:@bin(data1));
! 约束条件每人可租DVD数Yi=3或0;
@for(huiyuan(j):@sum(bianliang(j,i):data1(j,i))<=3); ! 所租DVDj总数小于网站现有DVDj的数量;
@for(DVD(i):@sum(bianliang(i,j):data1(i,j))<=total(i)); data:
total=10 40 15 20 20 12 30 33 35 25 29 31 28 61 2 28 28 26 31 38 34 29 35 22 29 81 1 19 25 41 29 35 1 40 39 5 106 30 29 2 110 6 15 36 34 11 32 25 2 64 40 26 33 26 61 2 11 38 44 36 27 31 42 44 12 81 10 35 33 30 2 40 15 11 28 24 20 88 9 28 31 8 22 3 70 21 34 4 38 27 39 28 24 15 50 24 36 55 2 40 ; ! 网站现有DVDj的数量;
ONE=@OLE('C:\\Users\\px\\Desktop\\数学.XLS','C3:CX1002'); enddata
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end
附录二
model: sets:
DVD/1..100/:total;!total为网站现有DVDj的数量; huiyuan/1..1000/; !自定义0-1向量; pianai(huiyuan,DVD):ONE;
bianliang(huiyuan,DVD):data1; Endsets
!目标函数（总体满意度最大）;
max=@sum(pianai(i,j):data1(i,j)*ONE(i,j)); ! x (i,j) ,t (i)为0-1变量; @for(bianliang:@bin(data1));
! 约束条件每人可租DVD数Yi=3或0;
@for(huiyuan(j):@sum(bianliang(j,i):data1(j,i))<=3); ! 所租DVDj总数小于网站现有DVDj的数量;
@for(DVD(i):@sum(bianliang(i,j):data1(i,j))<=total(i)); data: total=
43 67 48 76 39 54 56 58 69 49 51 55 51 63 51 75 52 45 51 67 68 49 65 41 50 59 52 39 50 71 47 68 60 62 68 61 43 59 58 52 88 66 51 65 64 52 57 50 54 64 71 52 57 45 57 59 57 46 59 58 47 60 55 60 48 60 65 61 61 66 64 66 47 59 46 39 39 57 56 51 59 33 45 35 63 44 66 42 43 55 73 49 43 45 79 47 67 62 39 66; ! 网站现有DVDj的数量;
ONE=@OLE('C:\\Users\\px\\Desktop\\数学.XLS','C3:CX1002'); enddata end
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