第一章 单元能力测试卷
一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分．)
1．已知集合A＝{1,3,5,7,9}，B＝{0,3,6,9,12}，则A∩?NB等于( ) A．{1,5,7} C．{1,3,9} 答案 A
解析 即在A中把B中有的元素去掉．
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2．设全集为R，集合A＝{x|≤1}，则?RA＝( )
B．{3,5,7} D．{1,2,3}
xA．{x|0≤x<1} C．{x|0 B．{x|0 111－x解析 A＝{x|≤1}＝{x|－1≤0}＝{x|≤0}＝{x|x≥1或x<0}，因此?RA＝ xxx{x|0≤x<1}．选A. 3．已知?ZA＝{x∈Z|x＜6}，?ZB＝{x∈Z|x≤2}，则A与B的关系是( ) A．A?B C．A＝B 答案 A 4．已知全集U＝Z，集合A＝{x|x＝x}，B＝{－1,0,1,2}，则图中的阴影部分所表示的集合等于( ) 2 B．A?B D．?ZA?ZB A．{－1,2} C．{0,1} 答案 A 解析 依题意知A＝{0,1}，(?UA)∩B表示全集U中不在集合A中，但在集合B中的所有元素，故图中的阴影部分所表示的集合等于{－1,2}，选A. 32 5．(2010·广东卷)“x>0”是“x>0”成立的( ) A．充分非必要条件 C．非充分非必要条件 B．必要非充分条件 D．充要条件 B．{－1,0} D．{1,2} - 1 - 答案 A 32322 解析 当x>0时，x>0成立；但当x>0时，得x>0，则x>0或x<0，此时不能得到x>0. 122 6．设集合P＝{x|x－x－2≥0}，Q＝{y|y＝x－1，x∈P}，则P∩Q＝( ) 2A．{m|－1≤m<2} C．{m|m≥2} 答案 C 解析 本题考查集合的概念及运算，根据题意知P＝{x|x≥2或x≤－1}，又因为当x∈P?1?12?1?时，y＝x－1∈?－，＋∞?，故Q＝? y|y≥－?， 2?2?2?? B．{m|－1 故P∩Q＝{m|m≥2}． 7．已知命题p：所有有理数都是实数；命题q：正数的对数都是负数．则下列命题中为真命题的是( ) A．(綈p)或q C．(綈p)且(綈q) 答案 D 解析 由于命题p是真命题，命题q是假命题，因此，命题綈q是真命题，于是(綈p)或(綈q)是真命题． π2 8．(2010·浙江)设0 2A．充分而不必要条件 C．充分必要条件 答案 B π2 解析 当0 211 ?xsin x<，而>1，故不能保证xsin x<1，故选B. sin xsin x9．“a＝1”是“函数y＝cosax－sinax的最小正周期为π”的( ) A．充分不必要条件 C．充要条件 答案 A 10．如下四个电路图，视“开关甲闭合”为条件甲，“灯泡乙亮”为结论乙，以贴切、形象的诠释甲是乙的必要不充分条件的图形是( ) B．必要不充分条件 D．非充分非必要条件 2 2 B．p且q D．(綈p)或(綈q) B．必要而不充分条件 D．既不充分也不必要条件 - 2 - 答案 B 11．(2011·山东潍坊一模)已知集合A为数集，则“A∩{0,1}＝{0}”是“A＝{0}”的( ) A．充分不必要条件 C．充要条件 答案 B 解析 ∵“A∩{0,1}＝{0}”得不出“A＝{0}”，而“A＝{0}”能得出“A∩{0,1}＝{0}”， ∴“A∩{0,1}＝{0}”是“A＝{0}”的必要不充分条件． 12．不等式f(x)＝ax－x－c>0的解集为{x|－2 2 B．必要不充分条件 D．既不充分也不必要条件 答案 B 1c解析 由根与系数的关系得＝－2＋1，－＝－2，得a＝－1，c＝－2. aaf(－x)＝－x2＋x＋2的图象开口向下，顶点为(，)．故选B. 二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分，把答案填在题中横线上) 13．已知集合A＝{1，a,5}，B＝{2，a＋1}．若A∩B有且只有一个元素，则实数a的值为________． 答案 0或－2 - 3 - 2 1924 解析 若a＝2，则a＋1＝5，A∩B＝{2,5}，不合题意舍去． 若a＋1＝1，则a＝0，A∩B＝{1}． 若a＋1＝5，则a＝±2. 而a＝－2时，A∩B＝{5} ∴a＝0或a＝－2 14．命题“若x<1，则－1 解析 原命题的逆否命题是把条件和结论都否定后，再交换位置，注意“－1 15．(2011·上海春季高考)若a1 、a2、a3均为单位向量，则a1＝(＝(3，6)的________条件． 答案 必要不充分 解析 由题意可知，|a1|＝|a2|＝|a3|＝1，若a1＋a2＋a3＝(3，6)，则|a1＋a2＋a3|＝3＝|a1|＋|a2|＋|a3|，a1、a2、a3共线且方向相同，即a1＝a2＝a3＝( 3636 ，)；若a1＝(，)，3333 36 ，)是a1＋a2＋a333 2 2 22 2 当a1、a2、a3不全相等时，a1＋a2＋a3≠(3，6)，故为必要不充分条件． 16．已知命题p：α＝β是tanα＝tanβ的充要条件． 命题q：??A.下列命题中为真命题的有________． ①p或q ②p且q ③┐p ④┐q 答案 ①③ 三、解答题(本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤) 17．(本小题满分10分)π为圆周率，a、b、c、d∈Q，已知命题p：若aπ＋b＝cπ＋d，则a＝c且b＝d. (1)写出p的非并判断真假； (2)写出p的逆命题、否命题、逆否命题并判断真假； (3)“a＝c且b＝d”是“aπ＋b＝cπ＋d”的什么条件？并证明你的结论． 解析 (1)原命题p的非是：“若aπ＋b＝cπ＋d，则a≠c或b≠d”．假命题． (2)逆命题：“若a＝c且b＝d，则aπ＋b＝cπ＋d”．真命题． 否命题：若“aπ＋b≠cπ＋d， 则a≠c或b≠d”．真命题． 逆否命题：“若a≠c或b≠d， 则aπ＋b≠cπ＋d”真命题． (3)“a＝c且b＝d”是“aπ＋b＝cπ＋d”的充要条件． - 4 - 证明如下： 充分性：若a＝c，则aπ＝cπ， ∵b＝d，∴aπ＋b＝cπ＋d. 必要性：∵aπ＋b＝cπ＋d， ∴aπ－cπ＝d－b. 即(a－c)π＝d－b. ∵d－b∈Q，∴a－c＝0，d－b＝0. 即a＝c，b＝d ∴是充要条件． 18．(本小题满分12分)已知集合E＝{x||x－1|≥m}，F＝{x|(1)若m＝3，求E∩F； (2)若E∪F＝R，求实数m的取值范围． 解析 (1)m＝3时，E＝{x||x－1|≥3}＝{x|x≤－2或x≥4}， 10 >1}． x＋6 F＝{x| 10x－4>1}＝{x|<0}＝{x|－6 ∴E∩F＝{x|x≤－2或x≥4}∩{x|－6 ①m≤0时，E＝R，E∪F＝R，满足条件． ②m>0时，E＝{x|x≤1－m或x≥1＋m}， 由E∪F＝R，F＝{x|－6 ∴?1＋m≤4，??m>0， 解得0 综上，实数m的取值范围为m≤3. 19．(本小题满分12分)解不等式： 2 2x1 >. x－1|x| 2x12x－x＋12 解析 (1)当x>0时，>?>0，∵2x－x＋1>0. x－1xxx－∴x(x－1)>0，∴x>1. (2)当x<0时， 2x1>－， x－1x∵x－1<0，x<0，不等式两边同乘以x(x－1)得： 2x>－(x－1)，即2x＋x－1>0， 1 得x<－1或x>. 2由x<0，得：x<－1. - 5 - 2 2