2011年白鹭洲中学高一数学竞赛试题
2011年5月15日 上午 8：00—10：30
注意：1．用黑色或蓝色笔作答，不准使用计算器；2．将答案写在答题卡上．
一、填空题（本大题共有8小题，每空7分，共56分）
21． 已知数列?an?的通项公式an?2，则数列?an?的最大项是 ．
n?5n?52．在△ABC中，角A、B、C所对的边分别是a、b、c，tanA?最长的边为1，则最短边的长为 ．
3．已知集合A?xcos2x?2(1?2)sinx?(22?1)?0,x?R，
1310,cosB?.若△ABC210??B??xsinx?cosx,x?R?，则A?B＝ ．
4．已知函数y＝21?x?x?3的最大值为M,最小值为m,则
M的值为 ． m5．已知函数f(x)?sinx?tanx.项数为2011的等差数列?an?满足an???????，?，且公22??差d?0.若f(a1)?f(a2)???f(a2011)?0，则当k=__________时，f(ak)?0. 6．设函数f:N??N?,且严格递增，f(f(n))?3n，则f(1)?f(9)=__________．
????????????????7．已知向量OB?(2,0),向量OC?(2,2),向量CA?(2cos?,2sin?),则向量OA与向????量OB的夹角的取值范围是 ．
8．我们把形如y?b?a?0,b?0?的函数（因其图像类似于汉字“囧”字），生动地称x?a为“囧函数”，并把其与y轴的交点关于原点的对称点称为“囧点”，以“囧点”为圆心凡是与“囧函数”有公共点的圆，皆称之为“囧圆”．则当a?1，b?1时，所有的“囧圆”中，面积的最小值为____________．
二、解答题（本大题共 4 小题，每小题 16分，共计 64分，要求解答要有必要的过程）
9．(本小题满分16分) 如果有穷数列a1，a2，a3，?，am（m为正整数）满足条件2，?，m），我们称其为“对称数a1?am，a2?am?1，?，am?a1，即ai?am?i?1（i?1，列”．
2521与数列8，，，，，42248都是“对称数列”例如，数列1，，，，．
（1）设?bn?是7项的“对称数列”，其中b1，b2，b3，b4是等差数列，且b1?2，依b4?11．c26，?，c49是首项为1，公比为2的等比数列，（2）设?cn?是49项的“对称数列”，其中c25，次写出?bn?的每一项； 求?cn? 各项的和S；
（3）设?dn?是100项的“对称数列”，其中d51，d52，?，d100是首项为2，公差为3的等差数列．求?dn?前n项的和Sn(n?1，，2?，100)．
?f(x)x?0?10．（本小题满分16分）设m为实数，函数f(x)?2x2?(x?m)x?m，h(x)??x .
x?0?0?（1）若f(1)≥4，求m的取值范围；
（2）当m＞0时，求证h(x)在?m,???上是单调递增函数；
（3）若h(x)对于一切x??1,2?，不等式h(x)≥1恒成立，求实数m的取值范围．.
11．（本小题满分16分）将1,2,3,?,n这n个数随机排成一列，得到的一列数a1,a2,?,an称为1,2,3,?,n的一个排列.
定义?(a1,a2,?,an)?|a1?a2|?|a2?a3|??|an?1?an|为排列a1,a2,?,an的波动强度.
（Ⅰ）当n?3时，写出排列a1,a2,a3的所有可能情况及所对应的波动强度； （Ⅱ）当n?10时，求?(a1,a2,?,a10)的最大值，并指出所对应的一个排列； （Ⅲ）当n?10时，在一个排列中交换相邻两数的位置称为一次调整，若要求每次调整时波动强度不增加，问对任意排列a1,a2,?,a10，是否一定可以经过有限次调整使其波动强度降为9；若可以，给出调整方案，若不可以，请给出反例并加以说明.
12．（本小题满分16分）半径分别是R,r(R?r)的?O1,?O2内切于点A，AD为其公切线，平行于AD的直线BC分别与两圆交于B点和C点，且B，C两点在直线O1O2的同一侧．
求?ABC的外接圆的半径．
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一、填空题（每小题7分，共56分）
1． 2． 3． 4． 5． 6． 7． 8． 二、解答题（每小题16分，共64分） 9．（本小题满分16分）
10．（本小题满分16分）
11．（本小题满分16分）