12．（本小题满分16分）
2011年白鹭洲中学高一数学竞赛试题参考答案与评分标准
一、填空题（每小题7分，共56分）
1．2 2．
5 3．? 4．55 ??5??5．1006 6．20 7． ?, 8． 3? ??1212?二、解答题（本大题共 4 小题，每小题 16分，共计 64分）
9． 解：（1）设数列?bn?的公差为d，则b4?b1?3d?2?3d?11，解得 d?3， ?5811，，，852． ??????4分 数列?bn?为2，，， （2）S?c1?c2???c49?2(c25?c26???c49)?c25
?21?2?22???224?1?2225?1?1?226?3 ??????8分 （3）d51?2，d100?2?3?(50?1)?149．
d2，?，d50是首项为149，公差为?3的等差数列． 由题意得 d1，???? 当n≤50时，Sn?d1?d2???dn ?149n?n(n?1)3301(?3)??n2?n． ??????12分 222 当51≤n≤100时，Sn?d1?d2???dn
?S50??d51?d52???dn? ?3775?2?(n?50)? ?(n?50)(n?51)?3
232299n?n?7500． 22?32301?n?n，1≤n≤50，??22 综上所述，Sn?? ??????16分
3299?n2?n?7500，51≤n≤100．??2210．解：（1）f(1)?2?(1?m)1?m?4，当m?1时，(1?m)(m?1)?2，无解； 当m?1时，(1?m)(1?m)?2，解得m?1?2。所以m?1?2．??????4分
m2?2m． （2）由于m?0,x?m。所以h(x)?3x?x3x1x2?m2)任取m?x1?x2，h(x2)?h(x1)?(x2?x1)(
x1x2x2?x1?0,3x1x2?m2?3m2?m2?0,x1x2?0， 所以h(x2)?h(x1)?0 即：
h(x)在?m,???为单调递增函数． ??????8分
2221,2,f(x)?2x?(x?m)(x?m)?3x?2mx?m（3）、① m?1时， x??， ??h(x)?f(x)?1恒成立?f(x)?x恒成立 ，即：g(x)?3x2?(2m?1)x?m2?0 x
由于y?g(x)的对称轴为x?
2m?1?1，故g(x)在??1,2?为单调递增函数，故6g(1)?0?m2?2m?2?0。所以m?1． ?????? 12分
?m2x?2?2m?1?x?m?x ② 当1?m?2时，h(x)?
2m?x?2?3x?m?2m?x2?m2m2?2m在?易证 y?x?2?m 在?得y?3x??1,m?为递增，由②?m,2?为递增，
xx所以，h(1)?1，即0?m?2， 所以 1?m?2．
m2③当m?2时，h(x)?x?2?2m （无解）
x综上所述 m?2． ??????16分
11．解：（Ⅰ）n?3时，排列a1,a2,a3的所有可能为1,2,3；1,3,2；2,1,3；2,3,1；
3,1,2；3,2,1.
?(1,2,3)?2；?(1,3,2)?3；?(2,1,3)?3；
?(2,3,1)?3；?(3,1,2)?3；?(3,2,1)?2. ??????6分
（Ⅱ）?(a1,a2,?,a10)?|a1?a2|?|a2?a3|???|a9?a10| 上式转化为?a1?a2?a2?a3???a9?a10，
在上述18个?中，有9个选正号，9个选负号，其中a1,a10出现一次，a2,a3,?,a9各出现两次.
所以?(a1,a2,?,a10)可以表示为9个数的和减去9个数的和的形式，
若使?(a1,a2,?,a10)最大，应使第一个和最大，第二个和最小. 所以?(a1,a2,?,a10)最大为：
(10?10?9?9?8?8?7?7?6)?(1?1?2?2?3?3?4?4?5)?49. ????10分
所对应的一个排列为：5,7,1,8,2,9,3,10,4,6.（其他正确的排列同等给分）?12分 （Ⅲ）不可以.
例如排列10,9,8,7,1,2,3,4,5,6，除调整1,2外，其它调整都将使波动强度增加，调整1,2波动强度不变.
所以只能将排列10,9,8,7,1,2,3,4,5,6调整为排列10,9,8,7,2,1,3,4,5,6. 对于排列10,9,8,7,2,1,3,4,5,6，仍然是除调整2,1外，其它调整都将使波动强度增加，所以仍只能调整1,2两个数字.
如此不断循环下去，不可能经过有限次调整使其波动强度降为9. ?????16分 12． 解：设?ABC的外接圆的半径为R0
由正弦定理知2R0=因为BC//AD?AC??BCA??DAEAB ?????2分
sin?ACB，且AD为切线，所以
E??CAF??GAB
FO1O2ABGDC如图，E,F分别为直线O1O2与两圆的交点，G为AC与?O2的交点．
所以?ABG~?ACB
所以
ABAG 即AB2?AC?AG ?????8分 ?ACAB设?ACB??，由正弦定理
在?ABC中，AC?2Rsin?AEC?2Rsin? 在?AFG中，AG?2rsin?
所以AB2?4Rrsin2? 即AB?2Rrsin? 所以 2R0=
2Rrsin??2Rr
sin?所以?ABC的外接圆的半径为Rr． ?????16分