(2)解法一:设AQ?a,则BQ?4?a2,CQ?8?a2, 在?BCQ中,过B作BM?CQ,连结MD, ??BCQ??DCQ,?DM?CQ,??BMC为二面角B?CQ?D的平面角…10分
BQ?BC2a2?4在?BCQ中,由等面积法可得BM=?CQa2?8?DM?2a2?4a2?8在?BMD中由余弦定理得,4(a2?4)4(a2?4)4(a2?4)1 8???2?(?)
a2?8a2?8a2?83得a?22.?在射线AP上存在一点Q满足题意.…………………………………………14分
??（2，0，0）解法二： 以A为原点，AD、AB、AP所在直线分别为 x、y、z轴建系，则C
（2，2，0）（0，2，）0，设Q（2，0，0），BQ?（0，?2，z）（0，0，z） D B 则BD?
，平面CQD的一个法向量为n2? （0，z，2）（z，0，2）?平面BCQ的一个法向量为n1? ……………………………………………………………..10分
??P B A n2＞=cos＜n1，????C D n1?n2|n1|?|n2|?????4142??，z?8，z?22时 ，令得由图可知，22z?43z?4??n2＞为锐角，且此时二面角B?CQ?D???＜n1，n2＞为钝角， ＜n1，满足条件。…………………………………….……14分 ?存在点Q（0，0，22）
高三数学（理科）试卷 第6页（共4页）
20．解：（1）证明：设l?:x?ny?2
由??x?ny?22 消去x得y?4ny?8?0……………2分 2?y?4x设A(x1,y1),B(x2,y2),M(?1,y3),N(?1,y4)
y12y22?4…………….…4分 则 ?y1?y2??8,x1x2?4?4 ?A,O,M三点共线
?y3y1y?y??y3??1,同理可得y4?2 ?1x1x1x2?????????yy ?OM?ON?(?1,y3)?(?1,y4)?1?y3y4?1?12??1,……………7分
x1x2 (2)解:QP?(4,0),由QP?(QA??QB)
?4?[(x1?2)??(x2?2)]?0???????(?) ……………9分
????10当AB垂直于x轴时,?=1,x1?x2?2代入(?),得??1,????2当AB不垂直于x轴时,由P分AB的比为?,则2?0?
x1??x22-x1 ,得?=1??x2-2由(?)得?? ?????x1?2,x2?22?x1x1?28?2x1x2???0 2x2?2x2?2x2?4综上所述,???. ……………14分
高三数学（理科）试卷 第7页（共4页）
2an2an（n?1）21.（1）证明：?Sn??，Sn?1??n?1，2222， 2n?1an?1an?an?1?Sn?1?Sn???，即an?1?an?2n?1222故?an?1?an?是公差为2的等差数列……………4分
解一：an?1?an?2n?1，?an?1?（n?1）??（an?n），n?1令bn=an-n，则bn+1=-bn，?bn?（?1）b11a又a1?S1??1得a1?1，?b1?a1?1?0，22?bn?0，即an?n ……………8分
解二：an?1?an?2n?1，an?2?a两式相减得：an?2?an?2n?1?2n?3?{a2n?1}、{a2n}都是以2为公差的等差数列，?a2n-1=a1+（n-1）?2=2n-1a2n=a2+（n-1）?2=2n?an=n解三：可用数学归纳法求解.
111????(k?N*)k?1k?22k111111f(k?1)?f(k)?(????)?(????)k?2k?32k?2k?1k?22k
11???02k?12k?2?f(k)关于k是递增的,(2)证明:构造f(k)? ……………………………..12分
?2n?2(n?N*)?f(2n)?f(2)111117?f(2n)?n?n???n?1的最小值为f(2)???
2?12?2234121117?n?n???n?1?.2?12?2212 ……………15分 注：其他方法酌情给分。
高三数学（理科）试卷 第8页（共4页）
ex(1?t)ex?t?t?22. （1）解：f?(x)?……………2分 1?ex1?ex 当t?0时,f?(0)?0,?f(x)的递增区间为R
tt,?递增区间为(ln,??) 1?t1?ttt，?递减区间为(??,ln) 令f?(x)?0得x?ln1?t1?t 当0?t?1时，令f?(x)?0得x?ln当t?1时，f?(x)?0,?f(x)的递减区间为R……………5分
exex?t,容易证明?(0,1)，对于给定的闭区间[a,b]，因为（2）证明：f?(x)?xx1?e1?eexy?在[a,b]上连续，故在[a,b]上有最小值，设其为k(0?k?1)于是当t?k1?ex时，f?(x)?0在[a,b]上恒成立，即f(x)在[a,b]上是增函数………9分
ex0ex0?t??(t)?t,即??（t）（3）由f(x0)??(t)?t得, x0x01?e1?e'“若对于任意的t?(0,1),总存在x0?[0,?](??0)时，使得f'(x0)??(t)?t成立”
ex（）??（t）等价于max.下面求?(x)的最大值. xmax1?e当t?(0,1)时,由(1)的讨论可知?(t)?f(ln即?(t)?lnttt)?ln(1?)?tln() 1?t1?t1?t1?t[lnt?ln(1?t)]??tlnt?(t?1)ln(1?t) 1?t??(t)?(t?1)ln(1?t)?tlnt(0?t?1)?11?t得??(t)?ln(1?t)?(t?1)?lnt?1?ln1?tt1令??(t)?0得t?2 11当0?t?时，??(t)?0，?(t)在(0,)上递增2211当?t?1时，??(t)?0，?(t)在(,1)上递减2211111??(t)max??()??ln?ln?ln222222
高三数学（理科）试卷 第9页（共4页）
exgx）?（0?x??）令（ x1?eex , 在[0?,上是增函数]g(x)??0 ?g(x)x2(1?e)' ?g(x)maxe??g(?)? ?1?ee???ln2 ???ln(loge2) ??min?ln(loge2)……15分 ?1?e22 命题：陈珍艳
审稿：陈发春 季龙侯 戴雪燕 张良兵 叶事一
高三数学（理科）试卷 第10页（共4页）