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请考生在第（22）、（23）、（24）三题中任选一题做答，如果多做，则按所做的第一题记分.答时用2B铅笔在答题卡上把所选题目的题号涂黑. 22．选修4－1：几何证明选讲
在?ABC中，AB=AC，过点A的直线与其外接圆 交于点P，交BC延长线于点D。 （1）求证：
PCAC?PDBDAP；
BCD （2）若AC=3，求AP?AD的值。 23.选修4—4;坐标系与参数方程
在平面直角坐标系xOy中，已知曲线C1:x2?y2?1，以平面直角坐标系xOy的原点O为极点，x轴的正半轴为极轴，取相同的单位长度建立极坐标系，已知直线
l:?(2cos??sin?)?6.
（1）将曲线C1上的所有点的横坐标、纵坐标分别伸长为原来的3、2倍后得到曲线C2 试写出直线l的直角坐标方程和曲线C2的参数方程；
（2）在曲线C2上求一点P，使点P到直线l的距离最大，并求出此最大值. 24.选修4—5；不等式选讲
已知a和b是任意非零实数. （1）求|2a?b|?|2a?b|的最小值。
|a|
（2）若不等式|2a?b|?|2a?b|?|a|(|2?x|?|2?x|)恒成立，求实数x的取值范围.
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2012届高考模拟试题（理科试卷1）答案
一、选择题 DAABB CAADC DA 二、填空题（13）
14（14）84 乙（15） x??14 2 （16）?4612 三、解答题（17）（共12分）
解：（Ⅰ）f(x)?(sin2x?cos2x)2?2sin22x?所以函数f(x)的最小正周期为（Ⅱ）依题意,y?g(x)?因为0?x??4?2?22sin(4x?) ,
.
?)?2sin[4(x??4x??4??4，所以??43?1683?4]?1?2sin(4x??4)?1
.
当4x?当4x??4?4?，即x??4时，g(x)取最大值2?1；
??，即x?0时， g(x)取最小值0.
（18）解：（Ⅰ）由题设知，X的可能取值为10，5，2，?3. 由此得X的分布列为：
X P10 0.725 2 ?3 0.02 0.18 0.08 （Ⅱ）设生产的4件甲产品中一等品有n件，则二等品有4?n件.由题设知4n?(4?n)?10，解得n?145，又n?N?且n?4，得n?3，或n?4.……10分
512625334所求概率为P?C4?0.8?0.2?0.8?0.8192.（或写成
）
EA答：生产4件甲产品所获得的利润不少于10万元的概率为0.8192. …………13分
D（19）（Ⅰ）证明：取BE中点D，连结DF.
因为AE?CF?1，DE?1，
BF所以AF?AD?2，而?A?60，即△ADF是正三角形.又因为
AE?ED?1, 所以EF?AD.所以在图2中有A1E?EF，BE?EF.
?PC所以?A1EB为二面角A1?EF?B的平面角. 图1 又二面角A1?EF?B为直二面角， 所以A1E?BE.
又因为BE?EF?E, 所以A1E⊥平面BEF,即A1E⊥平面BEP.
（Ⅱ）解：由（Ⅰ）可知A1E⊥平面BEP，BE?EF，如图，以E为原点，建立空间直角坐
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标系E?xyz，
则E(0,0,0)，A1(0,0,1)，B(2,0,0)，F(0,3,0). 在图１中，连结DP.因为
CFFA?CPPB?12zA1，
EFBxPCy所以PF∥BE，且PF?BEDE?21.所以四边形EFPD为
平行四边形.
所以EF∥DP，且EF?DP. 故点P的坐标为（1，3，0）.图2
??????????????所以A1B?(2,0,?1)， BP?(?1,3,0)，EA1?(0,0,1). ???????A1B?n?0,不妨设平面A1BP的法向量n?(x,y,z)，则???? ???BP?n?0.??2x?z?0,即?令y???x?3y?0.3，得n?(3,3,6).
??????????n?EA163???????所以cos?n,EA1?? ?2|n||EA1|1?43故直线A1E与平面A1BP所成角的大小为（20）（Ⅰ）解：f?(x)?x?2e?3ex2?3.
2.
由题意有f?(x0)?0即x0?2e?得f(e)?0即
122223ex0?0，解得x0?e或x0??3e（舍去）．
122e?2e?3elne?b?0，解得b??e．
（Ⅱ）证明：由（Ⅰ）知f(x)?12x?2ex?3elnx?22e22(x?0)，
f?(x)?x?2e?3ex2?(x?e)(x?3e)x(x?0)．在区间(0,e)上，有f?(x)?0；在区间(e,??)上，有f?(x)?0． 故f(x)在(0,e)单调递减，在(e,??)单调递增， 于是函数f(x)在(0,??)上的最小值是f(e)?0． 故当x?0时，有f(x)≥0恒成立．
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(Ⅲ)解： F(x)?f?(x)?ax?x?a?3ex22?2e(x?0)．
当a?3e时，则F(x)?x?2a?3ex当且仅当x??2e?2a?3e?2e，
2a?3e时等号成
22立，故F(x)的最小值m?2a?3e?2e?2e，符合题意；
当a?3e2时，函数F(x)?x?2e在区间(0,??)上是增函数，不存在最小值，不合题意；
a?3ex2当a?3e时，函数F(x)?x?2?2e在区间(0,??)上是增函数，不存在最小值，不合
题意．综上，实数a的取值范围(3e2,??)． （21）
?ab?23,?（Ⅰ）解：由已知?c1
?.??a2 解得a?2，b?3． …………4分故所求椭圆方程为
x24?y23?1．
??2?，
,0（Ⅱ）证明：由（Ⅰ）知A1??2设椭圆右焦点F2?1,0?．设P?x0,y0??x0?，A2?2,0?，
y0x0?222则3x0?4y0?12． 于是直线A1P方程为 y??x?2?，令x?4，得yM?6y0x0?2；
所以M(4,6y0x0?2)，同理N(4,2y0x0?2)．
??????????6y02y0所以F2M?(3,)，F2N?(3,).
x0?2x0?2??????????6y02y06y02y0?所以 F2M?F2N?(3, )?(3,)?9?x0?2x0?2x0?2x0?212y022?9?x0?4?9?3?12?3x0x0?422??9?9?x0?4?2x0?42?9?9?0．
所以 F2M?F2N，点F2在以MN为直径的圆上． 设MN的中点为E，则E(4,4y0(x0?1)x0?42)．
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??????????4y0(x0?1)又F2E?(3,)，F2P??x0?1,y0?, 2x0?42??????????4y0?x0?1?4y0(x0?1)所以F2E?F2P?(3, )??x0?1,y0??3?x0?1??22x0?4x0?4?3?x0?1???12?3x??x200?1?x?420?3?x0?1??3?x0?1??0．
所以 F2E?F2P．…………12分因为F2E是以MN为直径的圆的半径，E为圆心，
F2E?F2P，故以MN为直径的圆与直线PF2相切于右焦点．
22．解：（1）??CPD??ABC,?D??D， ??DPC～?DBA，?
又?AB?AC,?PCAC?PDBDPCAB?PDBD
APAC?
ACAD （2）??ACD??APC,?CAP??CAP,??APC～?ACD?
?AC2，
?AP?AD?9
23.解(Ⅰ) 由题意知，直线l的直角坐标方程为：2x-y-6=0，
x2y2∵曲线C2的直角坐标方程为：()?()?1，
23∴曲线C2的参数方程为：???x?3cos???y?2sin?(?为参数)
(Ⅱ) 设点P的坐标(3cos?,2sin?)，则点P到直线l的距离为：
d?|23cos??2sin??6|- 5?326 ??)?|4sin(306|- 5,1)，此时dmax?0，
?25.
∴当sin(600－θ)=-1时，点P(-
|4?6|524.解：（I）?|2a?b|?|2a?b|?|2a?b?2a?b|?4|a|对于任意非零实数a和b恒成立，
当且仅当(2a?b)(2a?b)?0时取等号，
?|2a?b|?|2a?b|的最小值等于
|a|4。
恒成立，
（II） ?|2?x|?|2?x|?
|2a?b|?|2a?b||a|故|2?x|?|2?x|不大于|2a?b|?|2a?b|的最小值
|a|
由（I）可知|2a?b|?|2a?b|的最小值等于4。
|a|实数x的取值范围即为不等式|2?x|?|2?x|?4的解。
解不等式得?2?x?2.
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