2012年高考真题理科数学解析分类汇编8 不等式
1.【2012高考重庆理2】不等式
??1x?12x?1?0的解集为
A.??1?1???1???,1? B.??,1? C.???.????1,??? D.???,????1,??? 对 2?2?2??2???【答案】A
【解析】原不等式等价于(x?1)(2x?1)?0或x?1?0，即?等式的解为?12?x?1，选A.
12?x?1或x?1，所以不
2.【2012高考浙江理9】设a大于0，b大于0.
A.若2+2a=2+3b，则a＞b B.若2+2a=2+3b，则a＞b C.若2a-2a=2b-3b，则a＞b D.若2a-2a=ab-3b，则a＜b 【答案】A 【解析】若
2?2a?2?3bababab
，必有
2?2a?2?b2ab．构造函数：f?x??2x?2x，则
xf??x??2?ln?2?20恒成立，故有函数f?x??2x?2x在x＞0上单调递增，即a＞b成立．其
余选项用同样方法排除．故选A
3.【2012高考四川理9】某公司生产甲、乙两种桶装产品。已知生产甲产品1桶需耗A原料1千克、B原料2千克；生产乙产品1桶需耗A原料2千克，B原料1千克。每桶甲产品的利润是300元，每桶乙产品的利润是400元。公司在生产这两种产品的计划中，要求每天消耗A、B原料都不超过12千克。通过合理安排生产计划，从每天生产的甲、乙两种产品中，公司共可获得的最大利润是（ ）
A、1800元 B、2400元 C、2800元 D、3100元 【答案】C.
【解析】设生产x桶甲产品，y桶乙产品，总利润为Z， ?x?2y?12?2x?y?12?则约束条件为?，目标函数为Z?300x?400y，
x?0???y?0
可行域为联立方程组??x?2y?12?2x?y?12，当目标函数直线经过点M时z有最大值，
得M(4,4)，代入目标函数得z?2800，故选C.
?x?2y?2?4.【2012高考山东理5】已知变量x,y满足约束条件?2x?y?4，则目标函数
?4x?y??1?z?3x?y的取值范围是
（A）[?32,6] （B）[?32,?1]
3（C）[?1,6] （D）[?6,]
2【答案】A
【解析】做出不等式所表示的区域如图，由z?3x?y得
y?3x?z，平移直线y?3x，由图象可知当直线经过点E(2,0)时，直线y?3x?z的截
距最小，此时z最大为z?3x?y?6，当直线经过C点时，直线截距最大，此时z最小，
1??4x?y??133?x?由?，解得?，此时，所以z?3x?y的取值范z?3x?y??3??222?2x?y?4?y?3?围是[?32,6]，选A.
?x?y?10?5.【2012高考辽宁理8】设变量x，y满足?0?x?y?20,则2x?3y的最大值为
?0?y?15?(A) 20 (B) 35 (C) 45 (D) 55 【答案】D
【命题意图】本题主要考查简单线性规划，是中档题. 【解析】作出可行域如图中阴影部分所示，由图知目标函数过点A?5,15?时，2x+3y的最大值为55，故选D.
【点评】本题主要考查简单线性规划问题，难度适中。该类题通常可以先作图，找到最优解求出最值，也可以直接求出可行域的顶点坐标，代入目标函数进行验证确定出最值。
?y?2?6.【2012高考广东理5】已知变量x，y满足约束条件?x?y?1，则z=3x+y的最大值为
?x?y?1?A.12 B.11 C.3 D.-1 【答案】B
【解析】画约束区域如图所示，令z?0得y??3x，化目标函数为斜截式方程y??3x?z得，当x?3,y?2时，zmax?11，故选B。
7.【2012高考福建理5】下列不等式一定成立的是（ ）
A．lg(x2?14)?lgx(x?0) B．sinx?1x?121sinx?2(x?k?,k?Z)
C．x2?1?2|x|(x?R) D．考点：不等式及基本不等式。
?1(x?R)
难度：中。
分析：本题考查的知识点为不等式的性质及基本不等式的性质。 解答：A中，x2?14?x(当x?0时，x?1sinx214?x)。
1sinx??2(sinx?[?1,0))。
B中，sinx??2(sinx?(0,1])；sinx? C中，x2?2|x|?1?(|x|?1)2?0(x?R)。 D中，
1x?12?(0,1](x?R)。
8.【2012高考江西理8】某农户计划种植黄瓜和韭菜，种植面积不超过50计，投入资金不超过54万元，假设种植黄瓜和韭菜的产量、成本和售价如下表 年产量/亩 年种植成本/亩 黄瓜 韭菜 4吨 6吨 1.2万元 0.9万元 每吨售价 0.55万元 0.3万元
为使一年的种植总利润（总利润=总销售收入减去总种植成本）最大，那么黄瓜和韭菜的种植面积（单位：亩）分别为
A．50，0 B．30，20 C．20，30 D．0，50 【答案】B
【命题立意】本题考查线性规划知识在实际问题中的应用，同时考查了数学建模的思想方法以及实践能力.
?x?y?50?【解析】设黄瓜的种植面积为x,韭菜的种植面积为y，则有题意知?1.2x?0.9y?54，即
?x,y?0??x?y?509?y，目标函数z?0.55?4x?0.3?6y?1.2x?0.9y?x?作出可行域?4x?3y?180，
10?x,y?0?
如图
y??109x?10,由图象可知当直线经过点E时，直线
?x?y?50?x?30z的解决最大，此时z取得最大值，由?，解得?，选9?4x?3y?180?y?20B.
【点评】解答线性规划应用题的一般步骤可归纳为：
(1)审题——仔细阅读，明确有哪些限制条件，目标函数是什么？
(2)转化——设元．写出约束条件和目标函数;
(3)求解——关键是明确目标函数所表示的直线与可行域边界直线斜率间的关系； (4)作答——就应用题提出的问题作出回答．
9.【2012高考湖北理6】设a,b,c,x,y,z是正数，且a2?b2?c2?10，
x?y?z?40，ax?by?cz?20，则
222a?b?cx?y?z12?
D．
34A．
14 B．
13 C．
【答案】C
【解析】由于(a2?b2?c)(x2?y2?z2)?(ax?by?cz)
等号成立当且仅当
ax?by?cz?t,则a=t x b=t y c=t z ，t(x?y?z)?10
22222所以由题知t?1/2,又
ax?by?cz?a?b?cx?y?z,所以a?b?cx?y?z?t?1/2，答案选C.
10.【2012高考福建理9】若函数y=2x图像上存在点（x，y）满足约束条件?x?y?3?0??x?2y?3?0，则实数m的最大值为 ?x?m?A．
12【答案】Ｂ．
B.1 C.
32 D.2