?1?0 Tran(s,a,b?)?c?0??0以上部分是机器人运动学的数学基础. 4.4.2机械手运动分析
01000010a?b??； (4.5) c???0本机械手的模型可以看成是由6个关节串联成的连杆组,用A矩阵来描述相邻连杆对应的坐标系之间的平移和旋转的齐次变换.其中,A1表示第一连杆对于基座的位姿,A2表示二杆对于一杆的位姿.则二杆对于极坐标的位姿可以用T矩阵来描述：
T2= A1 ×A2；
T6= A1 ×A2×A3×A4×A4×A5×A6. (4.6)
连杆相邻坐标系的变换称为连杆变换.Ai与?i?1、ai?1、di和?i4个连杆的参数有关,所以把连杆变换看成四个基本子变换问题,则Ai可以看成是坐标系{i}经过以下四个子变换得到的： (1)绕zi?1轴旋转?i； (2)沿着zi?1轴移动di； (3)沿着zi?1轴移动ai； (4)绕xi?1轴旋转?i.
这些子变换是相对于动坐标系描述的.按照“从左到右”的顺序,将会求得相邻连杆的坐标变换方程[7]：
Ai?Rot(z,?i)Trans(0,0,di)Trans(ai,0,0)Rot(x,?i)?cos?i ?sin?i???0??0?sin?icos?i?1cos?icos?i?1sin?i?10
sin?isin?i?1?cos?isin?i?1cos?i?10ai?1cosdi?ai?1sin?i?； (4.7)
?di??1?式(4.7)具体到实际的工程问题中,除了?i是变量外,其余各项参数都是常量.根据上式得到每个相邻连杆的A矩阵：
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?cos?10sin?1?sin?0cos?11?A1??10?0?00?0?cos?2?sin?2?sin?cos?2A2??20?0?0?00?0??； 0??1??cos?40?sin?40??sin?0cos?0?44?； A4???10d4??0??001??0?cos?5?sin?5A5???0??00sin?50?cos?510000?0??； 0??1?0a2cos?2?0a2sin?2??；
1d2??01??cos?3?sin?A3??3?0??00sin?3a3cos?3?0?cos?3a3sin?3??；
100??001??cos?6?sin?6?sin?cos?66A6??0?0?0?000?00??. (4.8)1d6??01?手臂的转换可以用前三个自由度来表示.通过MATLAB计算可以得到,其位姿转换方程可以表示为03T：
03T?1A2A3A?cos?1cos(?2??3)?sin?1cos?1sin(?2??3)a2cos?1cos?2?a3cos?1cos(?2??3)?d2sin?1??sin?cos(???)cos?sin?sin(???)asin?cos??asin?cos(???)?dcos?? .
(4.9)231123212312321???10cos(?2??3)?a2sin?2?a3sin(?2??3)??sin(?2??3)???0001??通过计算可以得到手腕位姿的转换可以用后三轴表示为36T.
36T?4A5A6A?cos?4sin?5d6cos?4sin?5??cos?4cos?5cos?6?sin?4sin?6?cos?4cos?5cos?6?sin?4sin?6?sin?cos?cos??cos?sin??sin?cos?sin??cos?cos?sin?sin(???)dsin?sin??. (4.10)
564645646123645??4?sin?5cos?6sin?5sin?6cos?5d6cos?5?d4????0001??123456末端位姿的转换可以用06T= AAAAAA表示, 通过MATLAB计算可以得
到其运算结果为4×4的矩阵,如式(4.11)所示,矩阵中的详细数值如下所示,该转换矩阵可以实现末端执行器的位姿与底座零点的位姿之间的转化,式(4.11)是非线性的：
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?nx?ny003123456?T=TT=AAAAAA=636?nz??0
oxoyoz0axayaz0px?py??. pz??1?nx=cos?1??cos(?2??3）(cos?4cos?5cos?6?sin?4sin?6）-sin(?2??3)sin?5cos?6???sin?1(sin?4cos?5cos?6?cos?4sin?6)；
ny=sin?1??cos(?2??3）(cos?4cos?5cos?6?sin?4sin?6）-sin(?2??3)sin?5cos?6???cos?1(sin?4cos?5cos?6?cos?4sin?6)；
nz=-sin(?2??3)?cos?4cos?5cos?6?sin?4sin?6??cos(?2??3）sin?5sin?6；
ox=cos?1???cos(?2??3）(cos?4cos?5cos?6?sin?4cos?6）+sin(?2??3)sin?5cos?6???sin?1(?sin?4cos?5sin?6?cos?4cos?6)oy=sin?1???cos(?2??3）(cos?4cos?5cos?6?sin?4cos?6）+sin(?2??3)sin?5sin?6???cos?1(?sin?4cos?5sin?6?cos?4cos?6)；
；
oz=sin(?2??3)?cos?4cos?5cos?6?sin?4sin?6??cos(?2??3）sin?5sin?6； ax=sin?（）cos?4sin?5?sin(?2??3)cos?5）?cos?1sin?4sin?5； 1cos(?2??3ay=cos?（）cos?4sin?5?sin(?2??3)cos?5）?sin?1sin?4sin?5； 1cos(?2??3az=-sin(?2??3)cos?4sin?5?cos(?2??3）cos?5；
cos?4sin?5?sin(?2??3)cos?5)??d6(cos(?2??3）； px=cos?1?（1d6sin?4sin?5?d2)??sin??dsin(???)?acos(???）?acos?2332322?4?cos?4sin?5?sin(?2??3)cos?5)??d6(cos(?2??3）； py=sin?1??cos?（1d6sin?4sin?5?d2)??a2cos?2??d4sin(?2??3)?a3cos(?2??3）?pz=d6(cos(?2??3）cos?5?sin(?2??3)cos?4sin?5)?d4cos(?2??3）?a3sin(?2??3)?a2sin?2； (4.11)
式(4.11)中,a2=181.05,a3=699.55,d2=0,d4=169.85,d6=0.除了θi是未知数外,其余均是常数.
4.4.3求解机械手的逆解
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六自由度机械的逆解求解过程,就是根据末端所要达到的坐标,通过坐标转换的方式,求接触的各个杆件应该旋转的角度?i,由于z4, z5, z6相交于一点w,点w在基础坐标系中的位置仅与?1、 ?2 、?3有关,所以可以先解出?1、 ?2 、
?3,再解出?4 、 ?5 、?6 .其中?1、 ?2 、?3决定了末端的位置,?4 、 ?5 、?6决定了末端的姿态.在求解的过程中,实现同一末端运动目的可能存在多种解,
需要用优化知识求得最优解。
由0T6?0T1T22T33T44T55T6,两边同时左乘0T1?1,得到式(4.12)：
0T1?1(?1)0T6?1T22T33T44T55T6?1T6； (4.12) 与式(4.11)连立,得到：
?c1s1??sc ?11?00??0000100??nx0??ny??0??nz??1??0oxoyoz0axayaz0px?py?1??T6； (4.13) pz??1?按照对应位置相同,可以得到?1的解.
?s1px?c1py?d2；则
?1?atan(py/px)?atan(d2/?px2?py2?d22)
本部分仅叙述求解第一关节的旋转角度?1的过程,起的各个关节的转角可以按照相同方法求出[8] [9].
5. 总结与展望
如今工业机械手行业的核心竞争力表现在整机制造、控制系统制造、伺服和驱动器制造,从近几年新出现的工业机械手看,新一代的工业机械手特性正变得更加智能、柔性、人性、网络、编程图形化.
结构模块化日新月异,要求不同公司的产品具有可快速重构的特性.不同公司的优势会逐渐差异化,分工更加明细,要求不同控制系统更加开放,能够相互移植、裁减.机械手有独立系统迈向群体系统.在控制方法上,要求驱动系统具备更
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高的数字化和网络化.多传感器融合应用,机器人作业更加人性化,机器人群体协作的同时,实现人机交互和谐共存,
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