数值分析考试试题
题号 得分 一 二 三 四 五 六 七 八 总分 所有试题答案写在答题纸上，答案写在试卷上无效 注：计算题取小数点后四位 一、填空题（共30分，每空3分）
1、已知xk(k?0,1,?,n)是互异节点，lk?x?是对应节点的Lagrange插值基函数， P(x)是任意一个首项系数为1的n?1次多项式，则P(x)??P(x)l(x)= 。
kkk?0n32??x?x, 0?x?12、设分段多项式 S(x)??3 2??2x?bx?cx?1, 1?x?2是以0,1,2为节点的三次样条函数，则b? ，c? 。 3、如果A是正交矩阵，则Cond2(A)= 。
4、用x = 3.141作为?的近似值，则x有 位有效数字，其绝对误差限为 。 5、数值积分公式
?30f(x)dx?3?f(1)?f(2)?是否为插值型求积公式： ， 2其代数精度为 。
?y??f(x,y)6、求解常微分方程初值问题?的改进欧拉公式
y(x)?y00?hyn?1?yn?[f(xn,yn)?f(xn?1,yn?hf(xn,yn))] 是 阶方法。
2其中h?xn?1?xn为常数，n?0,1,?。
二、(15分) 给出数据点：??xi??2?1?yi?7?2012?129
（1）用x1,x2,x3,x4构造三次Newton插值多项式N3(x)，并计算x?0.5
的近似值N3(0.5)。
（2）用事后误差估计方法估计N3(0.5)的误差。
三、（10分）已知向量x?(2,0,2,1)T，试构造Householder变换阵，使Hx?(0,0,k,0)T，
其中k?R。
四、（12分）已知勒让德（Legendre）正交多项式P0?1,P1?x,P2?13x2?1?，试利用勒 ?22让德正交多项式在二次多项式类H?span1,x中求一个多项式S?x?，使其成为
??f?x??ex在??11，?上的最佳平方逼近函数，并计算出平方误差。
五、（10分）写出求解线性代数方程组
?x1?2x2?2x3?5? ??x1?3x2??1 ??2x1?7x3?2的Gauss-Seidel迭代格式，并分析此格式的敛散性。
六、（12分）用追赶法求解三对角方程组。（要求写出LU分解的具体计算过程）
?2?100??x1??1????x????12?10???2???0? ?0?12?1??x3??0???????00?12???x4??0?七、（12分）给出计算x?并证明x?2。
2?2?2??的迭代格式，讨论迭代格式的收敛性,
数值分析试题标准答案
一、（30分） 1、
n?(x?x)； 2、b??2,c?3； 3、1；
ii?01?10?2； 5、 是， 1； 211114?3??36、计算S?10?3的值，
10?110?210?10611114)?3)??3)， 其中s2?(((10?310?110?210?106111s1?1014?(3?3??3)，s2会产生大数吃小数的问题。 610?110?210?104、3，
二、（8分）构造差商表： xi yi 一阶 二阶 三阶 0 1 1 0 -1 1 0 1 2 2 1 1 0 -1 所以插值多项式P(x)?1?x?2x(x?1)?x(x?1)2?(x?1)(?x2?x?1)
三、（8分）方法1：?3?sign(x3)x2?4?0?4?1?3,因x3?2?0,故取k???3??3。 y???T3e3?ke3?(0,0,?3,0), U?x?y?(2,0,5,1)T,???3(?3?x3)?3(3?2)?15 ??110?10?2?H?I?110100??UUT?15???100?10?5?? ???20?514??方法2： 取k?3， y?(0,0,3,0)T, （3分）
U?x?y?(2,0,?1,T 1) （3分） ???102?2??H?I?2UUT1300UTU?3?0??2021?? （2分） ??2012??四、（12分）span{1,x2}?span{P0,P2},设 S?x??c0P0?c2P2 ???P0,P0??P0,P2???c0???P0,f?????P,P??P,P???????? 2022??c2????P2,f????2c0?e?e?1?即：?2.350388??2?1 ?5c2?e?7e?0.143124（5分） （3分） 3分） 3分） 2分） （3分）
（ （ （
1??1c?(e?e)?1.1751940??2解得：? （3分）
?c?5(e?7e?1)?0.357812??2151S?x??c0P0?c2P2?(e?e?1)?(e?5e?1)?(3x2?1) （3分） 222?0.536715x2?0.996289?2?(f,f)?(f,s)??247?1e?36?0.8135 （3分） 2
五、（10分）方程组的Gauss-Seidel迭代格式为
?x1(k?1)?5?2x2(k)?2x3(k)?(k?1)?(?1?x1(k?1))/3 (5分) ?x2?x3(k?1)?(2?2x1(k?1))/7?其迭代矩阵为
?0?2?2?1??02?2???????BG???13??00???02?2? （3分）
33???0??207??????0?44??77????1其特征方程为
??22??3?0?21?3?26?2?0 2?07?解之得
?1??2?0,?3?谱半径?(BG)
六、（12分）方法1： r1?2, l2??26 21?26?1，故迭代发散。 （2分） 21113,r2?2?(?)?(?1)?， 22222435l3??,r3?2?(?)?(?1)?， l4??,r4?， c1?c2?c3?1?
33344?1???1?2L???0???0?方法2：
01?2300??2?100????3??000?10???2??,U??? 410??1??003?????35??1?000??4??4?0?1??1L1??2?0??0?000??1???0100??,L2???0010?????0001??0123000??1??00??0?,L3??010?????0?01??00100130400?1?0???110?0??2?1?1?120?,L?L1L2L3??0?1??3?1???3?0??0?40??0???0???1??
（8分）
?111?由Ly?b得y??1,,,??234?T?4321?由ux?y得x??,,,??5555?T （2分）
（2分）
七、（12分）由题意可得出其迭代格式为xk?1?2?xk. 且0?xk?2
?(x)?2?x,当x?[0,2]时,?(x)?[0,2] （3分）
1?11 ??(x)?(2?x)2?.
222?x 当0?x?2时，??(x)??1?1. 所以迭代格式是收敛的。 （6分）
22?x 由limxk?1?x可得，x??2?x?. (x?)2?2?x?,(x?)2?x??2?0.
k?????解得：x1??1,x2?2. 其中x1??1?0舍去。可得x?2.
? 即解得x?2. （3分）
八、（8分）假定yn?y(xn),将改进欧拉公式写成：
hyn?1?y(xn)?[y?(xn)?f(xn?h,y(xn)?hy?(xn))]
2则在xn处的Taylor展式为
yn?1?(ynx)?
h2?[y(?nx)2'2?n,y(xfn(x,?ny('x))xhnf?(x))nhyy(xn)f(nx,y(x))O?y(nx)?hhy'n(?x)2
y?(n''x3)Oh()（3分）
另一方面，依Taylor公式
y(xh2n?1)?y(xn)?hy?(xn)?2y??(x3n)?O(h) 因此有 Rn?1?y(xn?1)?yn?1?O(h3)
所以改进欧拉公式是二阶方法。
3分） 2分） （ （