三角变换、平面向量、函数、解三角形问题等综合问题
高考数学命题注重知识的整体性和综合性，重视在知识的交汇处考察，对三角形问题的考察重点在于三角变换、向量、函数等的综合，它们之间互相联系、互相交叉，不仅考察三角变换，同时深化了向量的运算，体现了向量的工具作用，试题综合性较高，所以要求学生有综合处理问题的能力，纵观最近几年高考，试题难度不大，但是如果某一知识点掌握不到位，必会影响到整个解题过程 ，本文从以下几个方面阐述解题思路，以达到抛砖引玉的目的. 1. 向量与三角形问题的结合
向量具有“双重身份”，既可以像数一样满足“满足运算性质”进行代数形式的运算，，又可以利用它的几何意义进行几何形式的变换，同时向量加、减法的几何运算遵循三角形法则和平行四边形法则，这为向量和三角形问题的结合，提供了很好的几何背景. 1.1 向量与三角形谈“心”
内心（三角形内切圆圆心）：三角形三条内角平分线的交点； 外心（三角形外接圆的圆心）：三角形各边中垂线的交点； 垂心：三角形各边上高的交点； 重心：三角形各边中线的交点， 用向量形式可表示为如下形式：
?ABACAP??(?),??0?ABAC??若P是?ABC内的一点，??P是?ABC的内心；
?BP?t(BA?BC)，t?0?BABC??若D、E两点分别是?ABC的边BC、CA上的中点,且
??DP?PB?DP?PC?P是?ABC的外心； ???EP?PC?EP?PA若GA?GB?GC?0,则G是?ABC的重心；
若P是面?ABC内的一点，且PA?PB?PA?PC?PC?PB，则P是?ABC的垂心. 例1.已知?ABC外接圆的圆心为O，且OA?3OB?2OC?0，则?AOC? ．
思路分析：本题主要考查两个向量数量积的概念，考查两个向量夹角公式的应用，考查特殊角的三角函数值．由于三角形的边长不固定，所以不妨假设外接圆的半径为1，也可以假设为r，这个数会在后面运算过
1
程中约掉．三个向量的和为零向量，先将一个移动到另一边，然后两边平方，利用向量运算公式，即可化简出关于?AOC余弦值的表达式，由此求得角的大小． 【答案】
2? 3
点评：本题考查了向量的应用，综合性高，难度大，密切联系已知条件和合理构思是解题的关键. 1.2 判断三角形形状
三角形的边可以看做向量的模长，三角形的内角可以看做向量的夹角，所以可利用向量的数量积和夹角公式或者其他线性运算，结合平面几何知识来判断三角形的形状
例2. 【吉林省实验中学2018届第二次月考】已知P为三角形ABC内部任一点（不包括边界），且满足(
-)·(
+
-2
)=0，则ABC的形状一定为___________.
思路分析：（1）利用向量的线性运算，向量的数量积找出边之间关系，从而推断出CB?CA，可知?ABC是等腰的三角形． 【答案】等腰三角形
【解析】∵PB?PA?AB?CB?CA,PB?PA?2PC?PB?PC?PA?PC?CB?CA, 又PB?PA?PB?PA?2PC?0,∴CB?CA?CB?CA?CB?CA?0, ∴CB?CA，故CB?CA.∴ABC一定为等腰三角形.
点评：此题考查了向量的线性运算，向量的数量积应用，利用向量的数量积可以很好得解决了三角形的边角问题，熟练掌握定理是解本题的关键． 1.3 向量运算与三角形问题的综合运用
解答这类题，首先向量的基本概念和运算必须熟练，要很好的掌握正弦定理、余弦定理的应用条件，其次要注意把题目中的向量用三角中边和角表示，体现向量的工具作用.
例3.【河北衡水金卷2018届模拟一】已知?ABC的内角A， B， C的对边a， b， c分别满足c?2b?2，
22???2?????????22bcosA?acosC?ccosA?0，又点D满足AD?12AB?AC． 33 2
（1）求a及角A的大小； （2）求AD的值．
思路分析：（1）由2bcosA?acosC?ccosA?0及正弦定理化简可得即?2sinBcosA?sin?A?C??sinB，从而得cosA??212?12．又A??0,??，所以A?，由余弦定理得a?7；（2）由AD?AB?AC，2333224442?1?4?1?得AD??AB?AC? ????2?1?????，所以AD?．
39993?2?9?3?点评：解三角形问题，多为边和角的求值问题，这就需要根据正、余弦定理结合已知条件灵活转化边和角之间的关系，从而达到解决问题的目的. 2. 三角函数与三角形问题的结合
三角函数的起源是三角形，所以经常会联系到三角形，这类型题是在三角形这个载体上的三角变换，第一：既然是三角形问题，就会用到三角形内角和定理和正、余弦定理以及相关三角形理论，及时边角转换，可以帮助发现问题解决思路；第二：它也是一种三角变换，只不过角的范围缩小了，因此常见的三角变换方法和原则都是适用的.
B ， C所对应的边分别为a ， b ， c，已知a?b，c?3，例4. △ABC的内角A ，cos2A?cos2B?3sinAcosA?3sinBcosB.
（1）求角C的大小； （2）若sinA?4，求△ABC的面积. 53
思路分析：（Ⅰ）由二倍角公式进行降次：
cos2A?1cos2B?133??sin2A?sin2B，再根据配角公式进2222????????行分类整理sin?2B???sin?2A??，最后根据三角形内角范围得角之间关系：2B??2A???，即
6?6?66??a32?8?A?B??，C?（Ⅱ）由正弦定理可求边，即由43得a?，再根据三角形内角关系求角
33552sinB?sin?A?C??4?33183?18，最后利用三角形面积公式：S△ABC?acsinB? 10225点评：本题考查了正弦定理，两角和与差的三角函数，第一问中要熟练掌握三角变换公式；第二问涉及到三角形面积公式.
3. 三角变换、向量、三角形问题的综合
高考会将几方面结合起来命题，三角函数主要考察它的图象、常见性质；三角形主要考察正弦定理、余弦定理以及有关的三角形性质；向量主要考察向量的运算、向量的模、向量的夹角、向量的垂直以及向量的共线，体现向量的工具作用，三角变换主要考察求值、化简、变形. 例5. 【浙江省台州中学2018届第三次统练】已知向量m??3sin??x?xx??,1?, n??cos,cos2?，记4?44??f?x??m?n．
(1) 若f?x??1 ，求cos?x???π??的值； 3?(2) 在锐角?ABC 中，角A,B,C 的对边分别是a,b,c, 且满足?2a?c?cosB?bcosC ，求f?2A? 的取值范围．
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思路分析：（1）由m??3sin??x?xx??,1?, n??cos,cos2?， f?x??1，利用平面向量数量积公式可得4?44???x??1sin????，利用二倍角的余弦公式可得结果；(2)由?2a?c?cosB?bcosC，根据正弦定理得
?26?2?2sinA?sinC?cosB?sinBcosC，再由两角和的正弦公式化简可得cosB?2，从而求得B?3，求得
?3?A?1??6?2?，利用三角函数的有界性即可得结果. 3点评：1.本题考查解三角形，利用正弦定理进行边角互化，继而求出B的值；高考中经常将三角变换与解三角形知识综合起来命题，其中关键是三角变换，而三角变换中主要是“变角、变函数名和变运算形式”，其中的核心是 “变角”，即注意角之间的结构差异，弥补这种结构差异的依据就是三角公式. 实际应用中的三角形问题
在实际生活中往往会遇到关于距离、角度、高度的测量问题，可以借助平面图形，将上述量放在一个三角形中，借助解三角形知识达到解决问题的目的.
例6. 【江苏省如东高级中学2018届期中】某综艺频道举行某个水上娱乐游戏，如图，固定在水面上点O处
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