第二章 一元函数微分学 §2.1 导数与微分
甲 内容要点
一．导数与微分概念 1．导数的定义
设函数y?f?x?在点x0的某邻域内有定义，自变量x在x0处有增量?x，相应地函数增量
?y?f?x0??x??f?x0?。如果极限lim数（也称微商） 记作f??x0?，或y?，
f?x0??x??f?x0??y?lim存在，则称此极限值为函数f?x?在x0处的导
?x?0?x?x?0?xx?x0dydf?x?，等。 x?xdxdxx?x00 并称函数y?f?x?在点x0处可导。如果上面的极限不存在，则称函数y?f?x?在点x0处不可导。 导数定义的另一等价形式，令x?x0??x，?x?x?x0， 则f??x0??limx?x0f?x??f?x0?
x?x0f?x??f?x0?f?x0??x??f?x0? ?lim??x?0x?x0?xf?x??f?x0?f?x0??x??f?x0? ?lim??x?0x?x0?x 我们也引进单侧导数概念。 右导数：f???x0??lim?x?x0 左导数：f???x0??lim?x?x0 则有f?x?在点x0处可导?f?x?在点x0处左、右导数皆存在且相等。 2．导数的几何意义与物理意义
如果函数y?f?x?在点x0处导数f??x0?存在，则在几何上f??x0?表示曲线y?f?x?在点?x0,f?x0??处的切线的斜率。
切线方程：y?f?x0??f??x0??x?x0? 法线方程：y?f?x0???1?x?x0??f??x0??0? ?f?x0? 设物体作直线运动时，路程S与时间t的函数关系为S?f?t?，如果f??t0?存在，则f??t0?表示物体在时刻t0时的瞬时速度。
3．函数的可导性与连续性之间的关系
如果函数y?f?x?在点x0处可导，则f?x?在点x0处一定连续，反之不然，即函数y?f?x?在点x0处连续，却不一定在点x0处可导。
例如，y?f?x??x，在x0?0处连续，却不可导。
4．微分的定义
设函数y?f?x?在点x0处有增量?x时，如果函数的增量?y?f?x0??x??f?x0?有下面的表达式 ?y?A?x0??x?0??x???x?0?
其中A?x0?为与?x无关，0??x?是?x?0时比?x高阶的无穷小。
则称f?x?在x0处可微，并把?y中的主要线性部分A?x0??x称为f?x?在x0处的微分， 记以dy或df?x?
x?x0x?x0 我们定义自变量的微分dx就是?x。 5．微分的几何意义
?y?f?x0??x??f?x0?是曲线y?f?x?在点x0处相应于自变量增量?x的纵坐标f?x0?的增量，微分
dyx?x0是曲线y?f?x?在点M0?x0,f?x0??处切线的纵坐标相应的增量（见图）。
6．可微与可导的关系
f?x?在x0处可微?f?x?在x0处可导。 且dyx?x0?A?x0??x?f??x0?dx
一般地，y?f?x?则dy?f??x?dx 所以导数f??x??dy也称为微商，就是微分之商的含义。 dx 7．高阶导数的概念
如果函数y?f?x?的导数y??f??x?在点x0处仍是可导的，
则把y??f??x?在点x0处的导数称为y?f?x?在点x0处的二阶导数，
d2y 记以y??，或f???x0?，或等， 2x?xdxx?x00 也称f?x?在点x0处二阶可导。
如果y?f?x?的n?1阶导数的导数，称为y?f?x?的n阶导数记以y是n阶可导。
二．导数与微分计算
?n?，f?n?dny?x?，n等，这时也称y?f?x?dx 1．导数与微分表 2．四则运算法则
?f?x??g?x???f??x??g??x? ?f?x??g?x???f??x?g?x??f?x?g??x?
????f?x??f??x?g?x??f?x?g??x? ? ?g?x??0? ??2g?x??g?x?? d?f?x??g?x???df?x??dg?x? d?f?x??g?x???g?x?df?x??f?x?dg?x? d??f?x??g?x?df?x??f?x?dg?x? ?g?x??0? ??2g?x??g?x?? 3．复合函数运算法则
设y?f?u?，u???x?，如果??x?在x处可导，f?u?在对应点u处可导，则复合函数y?f???x??在x处可导，且有
dydydu??f????x?????x? dxdudx 对应地dy?f??u?du?f????x?????x?dx
由于公式dy?f??u?du不管u是自变量或中间变量都成立。因此称为一阶微分形式不变性。 4．由参数方程确定函数的运算法则
设x???t?，y???t?确定函数y?y?x?，其中???t?，???t?存在，且???t??0，则
dy???t?? ????t??0?
dx???t??dy?d???dx??1?????t????t?????t?????t?
dxdt????t??3dt?dy?d?dx?d2y???? 二阶导数
dxdx2 5．反函数求导法则
设y?f?x?的反函数x?g?y?，两者皆可导，且f??x??0 则 g??y??11? ?f??x??0? f??x?f??g?y???1?d?f??x??d?g??y?????1??f???x???f???g?y?? ?f??x??0? ? 二阶导数g???y??dydydx?f??x??3?f??g?y???3dx 6．隐函数运算法则
设y?y?x?是由方程F?x,y??0所确定，求y?的方法如下：
把F?x,y??0两边的各项对x求导，把y看作中间变量，用复合函数求导公式计算，然后再解出y?的表达式（允许出现y变量）
例：x2?y2?1，2x?2y?y??0，y??? 7．对数求导法则
先对所给函数式的两边取对数，然后再用隐函数求导方法得出导数y?。 对数求导法主要用于：
①幂指函数求导数 ②多个函数连乘除或开方求导数 关于幂指函数y??f?x??g?x?x ?y?0? y常用的一种方法y?eg?x?lnf?x?这样就可以直接用复合函数运算法则进行。
关于分段函数求分段点处的导数，常常要先讨论它的左、右两侧的导数。
§2.2 微分中值定理
本节专门讨论考研数学中经常考的四大定理：罗尔定理，拉格朗日中值定理，柯西中值定理和泰勒定理（泰勒公式） 这部分有关考题主要是证明题，其中技巧性比较高，因此典型例题比较多，讨论比较详细。 甲 内容要点 一．罗尔定理 设函数f?x?满足
（1）在闭区间?a,b?上连续；（2）在开区间?a,b?内可导；（3）f?a??f?b? 则存在???a,b?，使得f?????0
几何意义：条件（1）说明曲线y?f?x?在A?a,f?a??和B?b,f?b??之间是连续曲线；[包括点A和点B] 条件（2）说明曲线y?f?x?在A,B之间是光滑曲线，也即每一点都有不垂直于x轴的切线[不包括点A和点B] 条件（3）说明曲线y?f?x?在端点A和B处纵坐标相等。
结论说明曲线y?f?x?在A点和B点之间[不包括点A和点B]至少有一点，它的切线平行于x轴。
（注：如果要证明这样的?还是唯一的，那么需要证明f?x?在?a,b?内是单调增加或单调减少，一般就需要证明在?a,b?内f??x??0或f??x??0） 二．拉格朗日中值定理 设函数f?x?满足
（1）在闭区间?a,b?上连续； （2）在开区间?a,b?内可导； 则存在???a,b?，使得
f?b??f?a??f???? 或写成f?b??f?a??f?????b?a? ?a???b? b?a 有时也写成f?x0??x??f?x0??f??x0???x???x ?0???1? 这里x0相当a或b都可以，?x可正可负。
几何意义：条件（1）说明曲线y?f?x?在点A?a,f?a??和点B?b,f?b??之间[包括点A和点B]是连续曲线； 条件（2）说明曲线y?f?x?[不包括点A和点B]是光滑曲线。
结论说明曲线y?f?x?在A,B之间[不包括点A和点B]至少有一点，它的切线与割线AB是平行的。 推论1．若f?x?在?a,b?内可导，且f??x??0，则f?x?在?a,b?内为常数。
推论2．若f?x?，g?x?在?a,b?内皆可导，且f??x??g??x?，则在?a,b?内f?x??g?x??c，其中c为一个常数。 （注：拉格朗日中值定理为罗尔定理的推广，当f?a??f?b?特殊情形，就是罗尔定理） 三．柯西中值定理（数学四不要）
设函数f?x?和g?x?满足： （1）在闭区间[a,b]上皆连续；（2）在开区间?a,b?内皆可导；且g??x??0 则存在???a,b?使得
f?b??f?a?f????? ?a???b?
g?b??g?a?g???? （注：柯西中值定理为拉格朗日中值定理的推广，特殊情形g?x??x时，柯西中值定理就是拉格朗日中值定理。）
几何意义：考虑曲线AB的参数方程????x?g?t? t??a,b?点A?g?a?,f?a??，点B?g?b?,f?b??曲线在AB上是连续
?y?f?t?曲线，除端点外是光滑曲线，那么在曲线上至少有一点，它的切线平行于割线AB。
值得注意：在数学理论上，拉格朗日中值定理最重要，有时也称为微分学基本定理。罗尔定理看作拉格朗日中值定理的预备定理，柯西中值定理虽然更广，但用得不太多。在考研数学命题中，用罗尔定理最多，其次是用拉格朗日中值定理，而用柯西中值定理也是较少。 四．泰勒定理（泰勒公式）（数学一和数学二） 定理1．（皮亚诺余项的n阶泰勒公式） 设f?x?在x0处有n阶导数，则有公式