f??x0?f???x0?f?n??x0?2?x?x0???x?x0?????x?x0?n?Rn?x? f?x??f?x0??1!2!n! ?x?x0? 其中Rn?x??0?x?x0??n???Rn?x??? ?x?x0?称为皮亚诺余项。 lim?x?x0?x?x?n?0?
0?? 前面求极限方法中用泰勒公式就是这种情形，根据不同情形取适当的n，所以对常用的初等函数如
?ex,sinx,cosx,ln?1?x?和?1?x?（?为实常数）等的n阶泰勒公式都要熟记。
定理2（拉格朗日余项的n阶泰勒公式）
设f?x?在包含x0的区间?a,b?内有n?1阶导数，在?a,b?上有n阶连续导数，则对x??a,b?，有公式
f??x0?f???x0?f?n??x0?2?x?x0???x?x0?????x?x0?n?Rn?x? f?x??f?x0??1!2!n!f?n?1???? 其中Rn?x??（?在x0与x之间） ?x?x0?n?1，?n?1?! 称为拉格朗日余项。
上面展开式称为以x0为中心的n阶泰勒公式。当x0?0时，也称为n阶麦克劳林公式。 如果limRn?x??0，那么泰勒公式就转化为泰勒级数，这在后面无穷级数中再讨论。
n??§2.3 导数的应用
甲 内容要点
一．判断函数的单调性
定理：设函数f?x?在?a,b?内可导，如果恒有f??x??0??0?则f?x?在?a,b?内单调增加（单调减少）；如果恒有。 f??x??0??0?，则f?x?在?a,b?内单调不减（单调不增）
基本应用模型：设f?x?在?a,???内连续，在?a,???内可导，且f??x??0??0?，又f?a??0，则当x?a时，恒有f?x??0??0?。 二．函数的极值 1．定义
设函数f?x?在?a,b?内有定义，x0是?a,b?内的某一点，则
如果点x0存在一个邻域，使得对此邻域内的任一点x?x?x0?，总有f?x??f?x0?，则称f?x0?为函数f?x?的一个极大值，称x0为函数f?x?的一个极大值点；
如果点x0存在一个邻域，使得对此邻域内的任一点x?x?x0?，总有f?x??f?x0?，则称f?x0?为函数f?x?的一个极小值，称x0为函数f?x?的一个极小值点。
函数的极大值与极小值统称极值。极大值点与极小值点统称极值点。 2．必要条件（可导情形）
设函数f?x?在x0处可导，且x0为f?x?的一个极值点，则f??x0??0。
我们称x满足f??x0??0的x0为f?x?的驻点可导函数的极值点一定是驻点，反之不然。 极值点只能是驻点或不可导点，所以只要从这两种点中进一步去判断。 3．第一充分条件
设f?x?在x0处连续，在0?x?x0??内可导，f??x0?不存在，或f??x0??0。
1? 如果在?x0??,x0?内的任一点x处，有f??x??0，而在?x0,x0???内的任一点x处，有f??x??0，则f?x0?为极大值，x0为极大值点；
2? 如果在?x0??,x0?内的任一点x处，有f??x??0，而在?x0,x0???内的任一点x处，有f??x??0，则f?x0?为极小值，x0为极小值点；
3? 如果在?x0??,x0?内与?x0,x0???内的任一点x处，f??x?的符号相同，那么f?x0?不是极值，x0不是极值点。 4．第二充分条件
设函数f?x?在x0处有二阶导数，且f??x0??0，f???x0??0，则 当f???x0??0时，f?x0?为极大值，x0为极大值点。 当f???x0??0时，f?x0?为极小值，x0为极小值点。 三．函数的最大值和最小值
1．求函数f?x?在?a,b?上的最大值和最小值的方法
首先，求出f?x?在?a,b?内所有驻点和不可导点x1,?,xk，其次计算f?x1?,?,f?xk?,f?a?,f?b?。 最后，比较f?x1?,?,f?xk?,f?a?,f?b?，
其中最大者就是f?x?在?a,b?上的最大值M；其中最小者就是f?x?在?a,b?上的最小值m。 2．最大（小）值的应用问题
首先要列出应用问题中的目标函数及其考虑的区间，然后再求出目标函数在区间内的最大（小）值。 四．凹凸性与拐点 1．凹凸的定义
设f?x?在区间I上连续，若对任意不同的两点x1,x2，恒有 f???x1?x2?1??x1?x2?1? ?????????????fx?fx或f?fx?fx???1212????2?2??2?2? 则称f?x?在I上是凸（凹）的。
在几何上，曲线y?f?x?上任意两点的割线在曲线下（上）面，则y?f?x?是凸（凹）的。 如果曲线y?f?x?有切线的话，每一点的切线都在曲线之上（下）则y?f?x?是凸（凹）的。 2．拐点的定义
曲线上凹与凸的分界点，称为曲线的拐点。 3．凹凸性的判别和拐点的求法
设函数f?x?在?a,b?内具有二阶导数f???x?，
如果在?a,b?内的每一点x，恒有f???x??0，则曲线y?f?x?在?a,b?内是凹的； 如果在?a,b?内的每一点x，恒有f???x??0，则曲线y?f?x?在?a,b?内是凸的。 求曲线y?f?x?的拐点的方法步骤是： 第一步：求出二阶导数f???x?；
第二步：求出使二阶导数等于零或二阶导数不存在的点x1、x2、?、xk；
第三步：对于以上的连续点，检验各点两边二阶导数的符号，如果符号不同，该点就是拐点的横坐标； 第四步：求出拐点的纵坐标。 五．渐近线的求法 1．垂直渐近线
f?x???或lim?f?x??? 则x?a为曲线y?f?x?的一条垂直渐近线。 若lim?x?ax?a 2．水平渐近线
若limf?x??b，或limf?x??b 则y?b是曲线y?f?x?的一条水平渐近线。
x???x??? 3．斜渐近线 若limx???f?x?f?x??a?0，lim?f?x??ax??b或lim?a?0，lim?f?x??ax??b
x???x???x???xx 则y?ax?b是曲线y?f?x?的一条斜渐近线。 六．函数作图的一般步骤
（1）求出y?f?x?的定义域，判定函数的奇偶性和周期性。
（2）求出f??x?，令f??x??0求出驻点，确定导数不存在的点，再根据f??x?的符号找出函数的单调区间与极值。 （3）求出f???x?，确定f???x?的全部零点及f???x?不存在的点，再根据f???x?的符号找出曲线的凹凸区间及拐点。 （4）求出曲线的渐近线。
（5）将上述“增减、极值、凹凸、拐”等特性综合列表，必要时可用补充曲线上某些特殊点（如与坐标轴的交点），依据表中性态作出函数y?f?x?的图形。 七．曲率（数学一和数学二）
设曲线y?f?x?，它在点M?x,y?处的曲率k??1??y???2y??3，若k?0，则称R?21为点M?x,y?处的曲率半径，k在M点的法线上，凹向这一边取一点D，使MD?R，则称D为曲率中心，以D为圆心，R为半径的圆周称为曲率圆。