第七讲、一元二次方程
（1）一元二次方程的一般形式：ax2?bx?c?0（其中x是未知数，a、b、c是已知数，a≠0） （2）一元二次方程的解法： 直接开平方法、配方法、公式法、因式分解法
（3）一元二次方程解法的选择顺序是：先特殊后一般，如没有要求，一般不用配方法。 （4）一元二次方程的根的判别式：??b2?4ac 当Δ＞0时?方程有两个不相等的实数根； 当Δ=0时?方程有两个相等的实数根； 当Δ< 0时?方程没有实数根，无解； 当Δ≥0时?方程有两个实数根
（5）一元二次方程根与系数的关系：
bc 若x1,x2是一元二次方程ax2?bx?c?0的两个根，那么：x1?x2??，x1?x2?
aa （6）以两个数x1,x2为根的一元二次方程（二次项系数为1）是：x2?(x1?x2)x?x1x2?0 第八讲、分式方程
（1）定义：分母中含有未知数的方程叫做分式方程。 （2）分式方程的解法：
一般解法：去分母法，方程两边都乘以最简公分母。 特殊方法：换元法。
（3）检验方法：一般把求得的未知数的值代入最简公分母，使最简公分母不为0的就是原方程的根；使得最简公分母为0的就是原方程的增根，增根必须舍去，也可以把求得的未知数的值代入原方程检验。 例题：
一、一元二次方程的解法 例1、解下列方程：
1 （1）(x?3)2?2；（2）2x2?3x?1；（3）4(x?3)2?25(x?2)2
2分析：（1）用直接开方法解；（2）用公式法；（3）用因式分解法 解：略 [规律总结]如果一元二次方程形如(x?m)2?n(n?0)，就可以用直接开方法来解；利用公式法可以解任何一个有解的一元二次方程，运用公式法解一元二次方程时，一定要把方程化成一般形式。 例2、解下列方程：
（1）x2?a(3x?2a?b)?0(x为未知数)；（2）x2?2ax?8a2?0
分析：（1）先化为一般形式，再用公式法解；（2）直接可以十字相乘法因式分解后可求解。
[规律总结]对于带字母系数的方程解法和一般的方程没有什么区别，在用公式法时要注意判断△的正负。
二、分式方程的解法： 例3、解下列方程：
21x2?26x??1??5 （2）；（2）22x?11?xxx?2分析：（1）用去分母的方法；（2）用换元法 解：略
[规律总结]一般的分式方程用去分母法来解，一些具有特殊关系如：有平方关系，倒数关系等的分式方程，可采用换元法来解。
三、根的判别式及根与系数的关系
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例4、已知关于x的方程：(p?1)x2?2px?p?3?0有两个相等的实数根，求p的值。 分析：由题意可得?=0，把各系数代入?=0中就可求出p，但要先化为一般形式。 [规律总结]对于根的判别式的三种情况要很熟练，还有要特别留意二次项系数不能为0 例5、已知a、b是方程x2?2x?1?0的两个根，求下列各式的值：
11? ab
分析：先算出a+b和ab的值，再代入把（1）（2）变形后的式子就可求出解。
[规律总结]此类题目都是先算出两根之和和两根之积，再把要求的式子变形成含有两根之和和两根之积的形式，再代入计算。但要注意检验一下方程是否有解。
（1）a2?b2；（2）
例6、求作一个一元二次方程，使它的两个根分别比方程x2?x?5?0的两个根小3
分析：先出求原方程的两根之和x1?x2和两根之积x1x2再代入求出(x1?3)?(x2?2)和(x1?3)(x2?3)的值，所求的方程也就容易写出来。解：略
[规律总结]此类题目可以先解出第一方程的两个解，但有时这样又太复杂，用根与系数的关系就比较简单。
三、方程组
例7、解下列方程组：
?x?y?2z?1?2x?3y?3?（1）? ； （2）?2x?y?z?5
?x?2y?5?x?y?3z?4?分析：（1）用加减消元法消x较简单；（2）应该先用加减消元法消去y，变成二元一次方程组，较易求解。解：略
[规律总结]加减消元法是最常用的消元方法，消元时那个未知数的系数最简单就先消那个未知数。 例8、解下列方程组：
22??x?y?7?3x?xy?4y?3x?4y?0（1）? ； （2）?2 2xy?12???x?y?25分析：（1）可用代入消远法，也可用根与系数的关系来求解；（2）要先把第一个方程因式分解化成两个
二元一次方程，再与第二个方程分别组成两个方程组来解。解：略
[规律总结]对于一个二元一次方程和一个二元二次方程组成的方程组一般用代入消元法，对于两个二元二次方程组成的方程组，一定要先把其中一个方程因式分解化为两个一次方程再和第二个方程组成两个方程组来求解。
列方程（组）解应用题
知识点：
一、列方程（组）解应用题的一般步骤 1、审题： 2、设未知数；
3、找出相等关系，列方程（组）； 4、解方程（组）； 5、检验，作答；
二、列方程（组）解应用题常见类型题及其等量关系； 1、工程问题
（1）基本工作量的关系：工作量=工作效率×工作时间
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（2）常见的等量关系：甲的工作量+乙的工作量=甲、乙合作的工作总量 （3）注意：工程问题常把总工程看作“1”，水池注水问题属于工程问题 2、行程问题
（1）基本量之间的关系：路程=速度×时间 （2）常见等量关系：
相遇问题：甲走的路程+乙走的路程=全路程 追及问题（设甲速度快）：
同时不同地：甲的时间=乙的时间；甲走的路程–乙走的路程=原来甲、乙相距路程 同地不同时：甲的时间=乙的时间–时间差；甲的路程=乙的路程 3、水中航行问题：
顺流速度=船在静水中的速度+水流速度； 逆流速度=船在静水中的速度–水流速度 4、增长率问题：
常见等量关系：增长后的量=原来的量+增长的量；增长的量=原来的量×（1+增长率）； 5、数字问题：
基本量之间的关系：三位数=个位上的数+十位上的数×10+百位上的数×100 三、列方程解应用题的常用方法
1、译式法：就是将题目中的关键性语言或数量及各数量间的关系译成代数式，然后根据代数之间的内在联系找出等量关系。
2、线示法：就是用同一直线上的线段表示应用题中的数量关系，然后根据线段长度的内在联系，找出等量关系。
3、列表法：就是把已知条件和所求的未知量纳入表格，从而找出各种量之间的关系。
4、图示法：就是利用图表示题中的数量关系，它可以使量与量之间的关系更为直观，这种方法能帮助我们更好地理解题意。 例题：
例1、甲、乙两组工人合作完成一项工程，合作5天后，甲组另有任务，由乙组再单独工作1天就可完成，若单独完成这项工程乙组比甲组多用2天，求甲、乙两组单独完成这项工程各需几天？
分析：设工作总量为1，设甲组单独完成工程需要x天，则乙组完成工程需要(x+2)天，等量关系是甲组5天的工作量+乙组6天的工作量=工作总量 解：略
例2、某部队奉命派甲连跑步前往90千米外的A地，1小时45分后，因任务需要，又增派乙连乘
1车前往支援，已知乙连比甲连每小时快28千米，恰好在全程的处追上甲连。求乙连的行进速度及追
3上甲连的时间
分析：设乙连的速度为v千米/小时，追上甲连的时间为t小时，则甲连的速度为（v–28）千米/小时，
7这时乙连行了(t?)小时，其等量关系为：甲走的路程=乙走的路程=30
4例3、某工厂原计划在规定期限内生产通讯设备60台支援抗洪，由于改进了操作技术；每天生产的台数比原计划多50%，结果提前2天完成任务，求改进操作技术后每天生产通讯设备多少台？
分析：设原计划每天生产通讯设备x台，则改进操作技术后每天生产x（1+0.5）台，等量关系为：原计划所用时间–改进技术后所用时间=2天 解：略
例4、某商厦今年一月份销售额为60万元，二月份由于种种原因，经营不善，销售额下降10%，以后经加强管理，又使月销售额上升，到四月份销售额增加到96万元，求三、四月份平均每月增长的百分率是多少？
分析：设三、四月份平均每月增长率为x%，二月份的销售额为60（1–10%）万元，三月份的销售额为二月份的（1+x）倍，四月份的销售额又是三月份的（1+x）倍，所以四月份的销售额为二月份的（1+x）2
倍，等量关系为：四月份销售额为=96万元。解：略
例5、一年期定期储蓄年利率为2.25%，所得利息要交纳20%的利息税，例如存入一年期100元，到期储户纳税后所得到利息的计算公式为：
税后利息=100?2.25%?100?2.25%?20%?100?2.25%(1?20%)
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已知某储户存下一笔一年期定期储蓄到期纳税后得到利息是450元，问该储户存入了多少本金？ 分析：设存入x元本金，则一年期定期储蓄到期纳税后利息为2.25%(1-20%)x元，方程容易得出。 例6、某商场销售一批名牌衬衫，平均每天售出20件，每件盈利40元，为了扩大销售，增加盈利，减少库存，商场决定采取适当的降低成本措施，经调查发现，如果每件衬衫每降价1元，商场平均每天可多售出2件。若商场平均每天要盈利1200元，每件衬衫应降价多少元？
分析：设每件衬衫应该降价x元，则每件衬衫的利润为（40-x）元，平均每天的销售量为（20+2x）件，由关系式：
总利润=每件的利润×售出商品的叫量，可列出方程 解：略 1、判断正误：
（1）若a＞b，c为实数，则ac2＞bc2； （2）若ac2＞bc2，则a＞b
分析：在（l）中，若c=0，则ac2=bc2； 在（2）中，因为”＞”，所以。C≠0，否则应有ac2=bc2 故a＞b 解：略
［规律总结］将不等式正确变形的关键是牢记不等式的三条基本性质，不等式的两边都乘以或除以含有字母的式子时，要对字母进行讨论。
例2、若a＜b＜0，那么下列各式成立的是（ ）
11aa A、? B、ab＜0 C、?1 D、?1
babb 分析：使用直接解法解答常常费时间，又因为答案在一般情况下成立，当然特殊情况也成立，因此采用特殊值法。
a 解：根据a＜b＜0的条件，可取a= –2，b= –l，代入检验，易知?1，所以选D
b [规律总结］此种方法常用于解选择题，学生知识有限，不能直接解答时使用特殊值法，既快，又能找到符合条件的答案。 方法3：类比法
例3、解下列一元一次不等式，并把解集在数轴上表示出来。
x?1x?1?2? （1）8–2（x＋2）＜4x–2；（2）1? 23 分析：解一元一次不等式的步骤与解一元一次方程类似，主要步骤有去分母，去括号、移项、合并同类项，把系数化成1，需要注意的是，不等式的两边同时乘以或除以同一个负数，不等号要改变方向。解：略
[规律总结］解一元一次不等式与解一元一次方程的步骤类似，但要注意当不等式的两边都乘以或除以同一个负数时，不等号的方向必须改变，类比法解题，使学生容易理解新知识和掌握新知识。 方法4：数形结合法
?2(x?8)?10?4(x?3)? 例4、求不等式组：?x?16x?7的非负整数解
??1?3?2 分析：要求一个不等式组的非负整数解，就应先求出不等式组的解集，再从解集中找出其中的非负
整数解。解：略
方法5：逆向思考法
例5、已知关于x的不等式(a?2)x?10?a的解集是x＞3，求a的值。
分析：因为关于x的不等式的解集为x＞3，与原不等式的不等号同向，所以有a – 2 >0，即原不等
10?a10?a?3解此方程求出a的值。解：略 式的解集为x?，
a?2a?2
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[规律总结]此题先解字母不等式，后着眼已知的解集，探求成立的条件，此种类型题都采用逆向思考法来解。
2011年中考数学方程与不等式综合复习试卷
【一元一次、一元二次方程、二元一次、方程组、列方程解应用题、分式方程】
一、选择题（每题4分，共32分）
1.已知 x=2 是二元一次方程组 mx+ny=8 的解，则2m-n的算术平方根为（ ） y=1 nx-my=1
A. 4 B. 2 C.
2 D. ?2
2.上海世博会的某纪念品原价为168元，连续两次降价a%后售价为128元，下列所列方程中正确的是（ ） A.168(1?a%)2?128 B.168(1?a%)2?128 C. 168(1?2a%)?128 D. 168(1?a2%)?128 3.小悦买书需用48元钱，付款时恰好用了1元和5元的纸币共12张．设所用的1元纸币为x张，根据题意，下面所列方程正确的是（ ）
A．x?5(12?x)?48 B．x?5(x?12)?48 C．x?12(x?5)?48 D．5x?(12?x)?48 4.方程x?x?1?0的一个根是：（ ） A.1?5 B.
21?5?1?5 C. ?1?5 D. 22
6.定义：如果一元二次方程ax?bx?c?0（a≠0）满足a+b+c=0，那么我们称这个方程为凤凰方程，已知
ax2?bx?c?0（a≠0）是凤凰方程，且有两个相等的实数根，则下列结论正确的是（ ） A. a=c B.a=b C. b=c D.a=b=c 7.已知a，b为实数，则解可以为 – 2 < x < 2的不等式组是（ ） A.?2?ax?1 B.
?bx?1?ax?1 C. ??bx?1?ax?1 D. ??bx?1?ax?1 ??bx?1
8.关于x的方程(a －5)x2－4x－1＝0有实数根，则a满足（ ） A．a≥1 B．a＞1且a≠5 C．a≥1且a≠5 D．a≠5 二.填空题（每题5分，共20分） 21??0的解为 9.方程
x?1x?2 - 5 -