2016年天津市南开中学高三理科下学期第五次月考数学试卷
一、选择题（共8小题；共40分） 1. 是虚数单位，复数
A.
B.
C.
D.
2. 设变量 ， 满足约束条件 则目标函数 的最小值为
A.
B.
C. D.
3. 设 ， ，则 是
A. 充分非必要条件 C. 充要条件 A.
B.
B. 必要非充分条件 D. 既不充分也不必要条件 C.
D.
4. 已知函数 ，若 存在唯一的零点 ，则 的取值范围是 5. 阅读如图的程序框图，运行相应的程序，则输出的 的值为
A. A.
B. B.
C. C.
D. D.
6. 设等差数列 的前 项和为 ，若 ， ， ，则
7. 在 中， ， ， ，点 为 内一点，若 ， ，则
A.
B. C. D.
， 8. 已知菱形 的边长为 ， ，点 ， 分别在边 ， 上， ，若 ， ，则
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A.
B.
C.
D.
二、填空题（共6小题；共30分）
9. 如图，向边长为 的正方形内随机地投点，所投的点落在由 和 围成的封闭图形的概率为 ．
10. 某四面体的三视图如图所示，该四面体四个面的面积中最大的是 ．
11. 已知双曲线
的一条渐近线平行于直线 ，且双曲线的一个
焦点在抛物线 的准线上，则双曲线的方程为 ．
12. 在以 为极点的极坐标系中，圆 和直线 相交于 ， 两点．若 是
等边三角形，则 的值为 ．
13. 如图，弦 与 相交于 内一点 ，过 作 的平行线与 的延长线相交于点 ．已
知 ，则 ．
14. 已知函数 ．若函数 恰有 个零点，则实数
的取值范围为 ．
三、解答题（共6小题；共78分） 15. 设函数
．
（1）求 的最小正周期和单调递增区间； （2）当 时，求 的取值范围．
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16. 现有甲、乙两个靶，某射手向甲靶射击一次，命中的概率为 ，命中得 分，没有命中得 分；
向乙靶射击两次，每次命中的概率为 ，每命中一次得 分，没有命中得 分．该射手每次射击的结果相互独立．假设该射手完成以上三次射击． （1）求该射手恰好命中一次的概率．
（2）求该射手的总得分 的分布列及数学期望 ．
17. 如图，在多面体 中，四边形 是正方形， 为 中点，且 平面 ，
， ， ， ．
（1）求证： 平面 ； （2）求二面角 的大小；
（3）求四面体 的体积．
18. 如图，椭圆 的离心率为 ，其左焦点到点 的距离为 ，不过
原点 的直线 与 相交于 ， 两点，且线段 被直线 平分．
（1）求椭圆 的方程；
（2）求 面积取最大值时直线 的方程．
19. 设数列 的前 项和 满足 ，其中 ．
（1）求证： 是首项为 的等比数列；
（2）若数列 的前 项和为 ，求数列 的前 项和；
（3）若 ，求证： ，并给出等号成立的条件．
20. 已知 ， 是实数，函数 ， ， 和 是 ， 的导函
数，若 在区间 上恒成立，则称 和 在区间 上单调性一致． （1）讨论 的极值；
（2）设 ，若函数 和 在区间 上单调性一致，求实数 的取值范围； （3）设 ，且 ，若函数 和 在以 ， 为端点的开区间上单调性一致，求
的最大值．
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答案
第一部分 1. A 2. B 关于
【解析】3. B
．
【解析】关于 ，解得： 或 ，
，解得： 或 或 ，
则 是 的必要不充分条件． 4. D
【解析】因为 ，
所以 ， 因为 存在唯一零点， 所以 在 上单调，
即 恒成立，或 恒成立， 所以 恒成立， 恒成立， 所以 ， 不能恒成立， 所以 的取值范围为 ． 5. C 6. C 9. 10. 11.
【解析】因为抛物线 的准线方程为 ， 所以由题意知，点 是双曲线的左焦点， 所以
又双曲线的一条渐近线平行于直线 ， 所以
7. D
8. C
第二部分
由 解得 ， ， 所以双曲线的方程为 12.
【解析】圆的方程为
直线为
因为 是等边三角形，所以其中一个交点坐标为 代入圆的方程，可得
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．
，
13.
【解析】∵ ，∴ ， ∵ ，∴ ．
在 和 中， ， ． ∴ ，则 ．
从而 ，即 ． 14.
【解析】画出函数 的图象如图所示．
函数 有 个零点，即函数 的图象与函数 的图象有 个交点（根据图象知需 ）．
当 时，函数 的图象与函数 的图象有 个交点． 当 时， 的图象与函数 的图象有 个交点，不合题意，
故 ．当 与 相切时，在整个定义域内， 的图象与
得 ．由 得 的图象有 个交点，此时，由
，解得 ，或 （舍去），则当 时，两个函数图象有 个交点．故实数 的取值范围是 ． 第三部分
15. （1）
最小正周期
，
令 ，得
，
所以 的最小正周期为 ；单调递增区间为 （2） 由（1）得： ，
因为 ， 所以
．
，
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