随堂自测
1.已知函数y＝(x－1)2，则x∈(－1，5)上的最小值为________．
解析：因为函数y＝(x－1)2的对称轴为x＝1，所以其最小值为f(1)＝0. 答案：0
2.函数y＝ax＋1(a＜0)在区间[0，2]上的最大值与最小值分别为________，________．
解析：因为a＜0，∴y＝ax＋1在[0，2]上是减函数，当x＝0时，ymax＝1；当x＝2时，ymin＝2a＋1.
答案：1 2a＋1
3.函数y＝－x2＋2x－1在[0，3]上的最小值为________．
解析：y＝－x2＋2x－1＝－(x－1)2，函数图象对称轴为x＝1，结合图象(图略)可知，当x＝3时，ymin＝－4. 答案：－4
2x2， 0≤x≤1??
4.函数f(x)＝?2， 1 ??3， x≥2解析：0≤x≤1时，f(x)＝2x2≤2；1 x≥2时，f(x)＝3.因此f(x)的最大值是3. 答案：3 [A级 基础达标] 2 1.若y＝－x，x∈[－4，－1]，则函数y的最大值为________． 22 解析：函数y＝－x在[－4，－1]上是单调增函数，故ymax＝－＝2. －1答案：2 2.函数y＝(a－1)x在[1，3]上的最大值是2，则a＝________． 5 解析：若a>1，当x＝3时，ymax＝2，∴(a－1)×3＝2，a＝3. 若a<1，当x＝1时ymax＝2，∴(a－1)×1＝2，a＝3，与a<1矛盾，故舍去． 5 因此满足条件的a＝3. 5答案：3 3.定义域为R的函数y＝f(x)的最大值为M，最小值为N，则函数y＝f(2x)＋3的最大值为________，最小值为________． 解析：y＝f(2x)的最大值为M，最小值为N，故y＝f(2x)＋3的最大值为M＋3，最小值为N＋3. 答案：M＋3 N＋3 4.已知函数f(x)＝－x2＋4x＋a，x∈[0，1]，若f(x)有最小值－2，则f(x)的最大值为________． 解析：f(x)＝－(x2－4x＋4)＋a＋4＝－(x－2)2＋4＋a. ∴函数f(x)图象的对称轴为x＝2， ∴f(x)在[0，1]上单调递增． 又∵f(x)min＝－2， ∴f(0)＝－2，即a＝－2. ∴f(x)max＝f(1)＝－1＋4－2＝1. 答案：1 5.函数f(x)＝－2x2＋mx＋1，当x∈[－2，＋∞)时是减函数，则m的取值范围是________． mm 解析：由题意函数f(x)的单调减区间为[4，＋∞)．故4≤－2，得m≤－8. 答案：(－∞，－8] 6.函数y＝－x2－4x＋1在区间[a，b](b＞a＞－2)上的最大值为4，最小值为－4，求a与b的值． 解： ∵y＝－(x＋2)2＋5， ∴函数图象对称轴是x＝－2. 故在[－2，＋∞)上是减函数． 又∵b＞a＞－2，∴y＝－x2－4x＋1在[a，b]上单调递减． ∴f(a)＝4，f(b)＝－4. 由f(a)＝4，得－a2－4a＋1＝4， ∴a2＋4a＋3＝0，即(a＋1)(a＋3)＝0. ∴a＝－1或a＝－3(舍去)，∴a＝－1. 由f(b)＝－4，得－b2－4b＋1＝－4， ∴b＝1或b＝－5(舍)， ∴b＝1. 7.求函数f(x)＝x2－2ax＋2在区间[－1，1]上的最小值． 解：函数f(x)的对称轴为x＝a，且函数图象开口向上，如图所示： 当a＞1时，f(x)在[－1，1]上单调递减， 故f(x)min＝f(1)＝3－2a； 当－1≤a≤1时，f(x)在[－1，1]上先减后增， 故f(x)min＝f(a)＝2－a2； 当a＜－1时，f(x)在[－1，1]上单调递增， 故f(x)min＝f(－1)＝3＋2a. 3－2a （a＞1）?? 综上可知，f(x)min＝?2－a2 （－1≤a≤1）. ??3＋2a （a＜－1） [B级 能力提升] 8.如果函数f(x)＝x2＋bx＋c对任意实数x，都有f(2＋x)＝f(2－x)，则f(1)，f(2)，f(4)的大小关系为________． 解析：由题意知，函数以x＝2为对称轴，f(1)＝f(3)，且在(2，＋∞)上单调递增，故f(2) 9.函数f(x)＝|x－1|＋|2－x|的最小值为________． 解析：法一： 2x－3， x>2，?? f(x)＝|x－1|＋|2－x|＝?1， 1≤x≤2， ??3－2x， x<1， 作出函数图象(如图)易得f(x)最小值为1. 法二：在数轴上，设实数1，2，x分别对应点A，B，P，则|x－1|＋|2－x|＝AP＋BP，结合图象易得AP＋BP≥AB＝1，当P在A，B之间时取等号． 答案：1 10.已知函数f(x)＝x2＋2ax＋5，x∈[－5，5]． (1)当a＝－1时，求函数f(x)的最小值和最大值； (2)求实数a的取值范围，使y＝f(x)在区间[－5，5]上是单调函数． 解：(1)当a＝－1时，f(x)＝x2－2x＋5＝(x－1)2＋4. ∴当x＝1时，ymin＝4；当x＝－5时，ymax＝40. (2)f(x)＝(x＋a)2＋5－a2.由条件，得－a≤－5或－a≥5，∴a≤－5或a≥5. ∴a的取值范围是(－∞，－5]∪[5，＋∞)． 11.(创新题)已知函数f(x)＝x2＋2ax＋1在区间[－1，2]上的最大值为4，求a的值． 1 解：f(x)＝x2＋2ax＋1＝(x＋a)2＋1－a2，区间[－1，2]的中点为2，对称轴为直线x＝－a，结合二次函数的图象(图略)知： 111当－a≥2，即a≤－2时，f(x)max＝f(－1)＝1－2a＋1＝4，∴a＝－1≤－2； 1111当－a<2，即a>－2时，f(x)max＝f(2)＝4＋4a＋1＝4，∴a＝－4>－2. 1 综上所述，a＝－1或a＝－4.