离散的。在拖欠保费的情况下，被保险人可选择：
(1)减额缴清终身寿险。
(2)期限不超过原两全保险的展期定期保险以及x+n岁时支付的减额生存保险。在时间t的解约金为 tVx:n，它可用来购买金额为b的缴清终身寿险，或用于购买金额为1的展期保险以及x+n岁时的生存支付f。设Ax?t:n?t?2Ax?t，用b，Ax?t:n?t及n?tEx?t表示f。 8． 设k?tCV?k?t1V(Ax)。
证明：决定自动垫缴保费贷款期长短的方程可写成H(t)＝0，其中
H?t??axGS1i?ax?k?1?ax。
9． 在人寿保险的早期，一家保险公司的解约金定为 ???k?， k?1,2,? kCV?h?Gx?h?Gx?a???k?为始于x+k岁并到缴费期结束为止的期初生存年金式中，G为相应年龄的毛保费；?a值，h在实际中取
23。如果终身寿险保单的毛保费按1980年规则取为调整保费，并且Px与
Px?t都小于0.04，h=0.9，验证以上给出的解约金为
? kCV??0.9091.1P25Vx?x?k1.1?P25?)(P xxk)10. 生存年金递推关系为 ??x? ?ah??1?i??px???ax1? h, h?0,1,2,? h?(1) 如果实际的经验利率是h+1，经验生存概率是x+h，则年金的递推关系为
???1??1??ih???p ?ax?h1?x??a?(h?x1?h??1?) h式中，?h?1为生存者份额的变化。证明并解释
??x?h?1??(px?h?p?x?h)a??x?h?1(i?h?1)?a?x?hp ?h?1?
(2)如果年末的年金收入调整为年初的rh?1倍，其中
???p??x?h?1??1?i?x?h?rh?1?a??x?h? ?ah?11?x?h表示rh?1。 用 i,i?,px?h及 p 11. 证明式(8.4.12)、式(8.4.13)和式(8.4.14)。
22 12. 在1941年法则中，若Px?0.04,P?0.04 ,则 E1=（ ）
A. 0.036 B. 0.046 C. 0.051 D. 0.053
13. (30)投保20年期生死两全保险，若P30:20?0.08,d?0.01 ,利用1941年法则求
2得 P30?0.01时的调整保费为（ ）
A. 0.0620 B. 0.0626 C. 0.0638 D. 0.0715
第九章：现代寿险的负债评估
练 习 题
1.?在例9.2.1中将第1年到第5年的保证利率改为9%，求0到第10年的现金价值及第4年的准备金。
2. 在例9.2.3中将保证利率改为：前3年为8% ，3年以后为4% ，重新计算表9.2.8、表9.2.9和表9.2.10。
3.?在例9.2.5中，若保证利率：第1年到第5年为9.5%，以后为4%，求0到第5保单年度的准备金。
4. 考虑固定保费变额寿险，其设计是公平设计且具有下列性质:
男性：35岁；AIR=4%；最大允许评估利率：6%；面值(即保额)：10 000元；在第5保单年度的实际现金价值为6 238元；在第5保单年度的表格现金价值为5 316元。且已知
1000q39?2.79，相关资料如下表。
单位：元
I(%) x?岁? 1000Ax ??x a 1000qx 2.11 2.24 3.02 2.11 2.24 3.02 4 4 4 6 6 6 35 36 40 35 36 40 246.82 255.13 290.81 139.51 146.08 175.31 19.582 6 19.366 7 18.438 9 15.202 1 15.086 0 14.569 5
求：(1)第5保单年度的基础准备金；(2)用一年定期准备金和到达年龄准备金求第5保单年度的GMDB准备金。
5. 已知某年金的年保费为1 000元；预先附加费用为3%；保证利率为第1年到第3年8%，以后4%；退保费为5/4/3/2/1/0%；评估利率为7%。假设为年缴保费年金，第1年末的准备金为（ ）
A. 1005 B. 1015 C. 1025 D. 1035
6. 在上题中，如果本金为可变动保费年金，保单签发时缴费1 000元，第2年保费于第1年末尚未支付，则第1年年末的准备金为（ ） A. 1005 B. 1015 C. 1025 D. 1035
第十章：风险投资和风险理论
练习题
1. 现有一种2年期面值为1 000的债券，每年计息两次的名义息票率为8%，每年计息两次的名义收益率为6%，则其市场价格为（ ）元。
A.1037.171 B. 1028.765 C. 1043.817 D. 1021.452
2. 假设X是扔五次硬币后“国徽”面朝上的次数，然后再同时扔X个骰子，设Y是显示数目的总合，则Y的均值为（ ）
A．
109648 B.
108548 C.
109636 D .
108536
3. 现有一种六年期面值为500的政府债券，其息票率为6%，每年支付，如果现行收益率为5%，那么次债券的市场价值为多少？如果两年后的市场利率上升为8%，那么该债券的市场价值又是多少？
4. 考虑第3题中的政府债券，在其他条件不变的情况下，如果六年中的市场利率预测如下：
r：5% r2：6% r3：8% r4：7% r5：6% r6：10%
那么该债券的市场价值是多少？ 5. 计算下述两种债券的久期：
（1）五年期面值为2 000元的公司债券，息票率为6%，年收益率为10%； （2）三年期面值为1 000元的政府债券，息票率为5%，年收益率为6%。 6. 某保险公司有如下的现金流支付模型，试计算包含报酬率。 年份 现金流 0 -481.67 1 20 2 520 7. 某保险人一般在收到保费八个月后支付索赔，其系统风险是30%，无风险利率为7.5%，费用率为35%，市场组合的期望回报是20%，那么该保险人的期望利润率是多少？ 8. 某保险人的息税前收入是6.2亿元，净利息费用为300万元，公司的权益值为50亿元，税率为30%，试求股本收益率。
9. 某建筑物价值为a，在一定时期内发生火灾的概率为0.02。如果发生火灾，建筑物发生的损失额服从0到a的均匀分布。计算在该时期内损失发生的均值和方差。
10. 如果短期局和风险模型中的理赔次数N服从二项分布B（n , p）,而P服从0到1的均匀分布,利用全概率公式计算：（1）N的均值，（2）N的方差。 11. 如果S服从参数??0.60，个别赔款额1，2，3概率分别为0.20，0.30，0.50的复合泊松分布，计算S不小于3的概率。
12. 若破产概率为????0.3e?2u?0.2e?4u?0.1e?7u，u?0，试确定?和R。
13． 设盈余过程中的理赔过程S（t）为复合泊松分布，其中泊松参数为?，个别理赔额C服从参数为??1的指数分布，C = 4 ，又设L为最大聚合损失，?为初始资金并且满足P?L???= 0.05，试确定?。