增城市2011届高中毕业班调研测试理科数学试题
参考答案及评分标准
一、选择题：BBCDA CDD
二、填空题：（一）9. 5 10. 1 11. -20 12. 950 13. （二）14. 2 15. (2,三、解答题：
10?
5?) 3C53?C4110?42016.解：（1）P(X?1)? 5分 ??4C912663 (第一个等式的分子、分母各1分，第二个的分子、分母的计算各1分，结果1分) （2）?的取值为0，1，2 ，3，4 6分
C545P(X?0)?4? 7分
C9126C52?C426010P(X?2)??? 8分
C9412621C51?C432010P(X?3)??? 9分 4C912663C441P(X?4)?4? 10分
C9126所以所求分布列为 X P 0 1 2 3 4 5 12620 6310 2110 631 126 11分 所以所求的数学期望是E(X)?
17. 解：（1）?f(x)?52010101112?0??1??2??3??4? 12分 126632163126632sin(x??4) 2分
?0?x??,? 所以当x??4?x??4?5? 3分 44
时 4分
?4??2，即x?
? f(x)有最大值2 5分
（2）当0?x?当
?4??2时f(x)单调增， 6分
?2?x??4??时f(x)单调减， 7分
]，单调减区间是[,?] 8分 441?3?（3）?sin??cos??,0????，??x? 9分
5243? ???2?? 10分
所以f(x)的单调增区间是[0,??2 ?(sin??cos?)2?125, 11所以sin2???2425 12 ?cos2???725 13 ?sin(2???2)??cos2??725 14或解：?f(?)?15,0????,即sin(???224)?10?2 9 ?3?4????4?? 10 ?cos(???4)??7210 11?sin(2???2)?2sin(????74)cos(??4)??25， 12即cos2???725 13?sin(2???72)??cos2??25 1418.（1）证明：连结MD1,MB M是AA1的中点
?AM1?AM ?A1D1?AB ?Rt?ABM?Rt?AD11M ?MD1?MB ?O是BD1的中点， ?MO?BD1 分 分
分
分
分 分 分 分
分
分
1分 2分 3分 4分 5分
连B1D,?BDD1B1是矩形，?B1D过点O且为B1D的中点
同理可证：OM?B1D 6分 ?OM?平面BDD1B1 7分 （2）证明：连结D1M并延长与DA的延长线交于点P 8分 ?M为AA1的中点，
?AP?AD?AB?1,PM?MD1?MB?52 连PB取其中点Q，连AQ,MQ，则AQ?PB,MQ?PB ??MQA是所求二面角的平面角 ?在等腰直角三角形APB中，AQ?122PB?2. ?MQ?AM2?AQ2?32 ?cos?MQA?AQ6MQ?3 所以… 或解：（1）分别以???DA?,???DC?,????DD?1为x,y,z轴建立直角坐标系， 则D(0,0,0),D11111(0,0,1),B(1,1,0),M(1,0,2),O(2,2,2) ?????DD????DB??(1,1,0),????MO??(?12,11?(0,0,1),2,0) ????MO???????DD???????????1?0,MO?DD1?0 ????MO???????DD????MO??????DB?1,,即MO?DD1,MO?DB ?MO?平面BDD1B1 （2）设点平面BD?1M的法向量为n?(1,x,y) ????BD??1?(?1,?1,1) 9分 10分 11分
12分 13分 14分 1分
2分
3分
4分 6分
7分
8分
?1x??????n?MO????0?22 10分 ?????????n?BD??1?x?y?0?1解得x?1,y?2 即n?(1,1,2) 11分
??????又平面ABCD的法向量为DD1?(0,0,1) 12分
?????????????n?DD1cos??n?DD1 13分
?cos??63，即所求的二面角的平面角的余弦值为63 19.解（1）解：v(x)?(a?2x)2x(0?x?a2) （其中式子4分，定义域1分）
（2）?v(x)??2(a?2x)(?2)?(a?2x)2 ?(a?2x)(a?6x) 令v(x)??0得x?a2或x?a6?x?a6 当x?(0,a6)时，v(x)??0,?v(x)单调增 当x?(a6,a2)时，v(x)??0,?v(x)单调减 所以当x?a26时v(x)取到最大值，且最大值是
27a3
20.解（1）设动圆C半径为r ?圆C221的方程为(x?3)?y?4， ?r1?2,C1(?3,0) 又?圆C222的方程为（x-3）?y?64,?r2?8,C2(3 , 0 ) ?CC1?r?2,CC2?8?r ?CC1?CC2?10 ?C1C2?6
所以点C的轨迹是以C1,C2为焦点，长轴为10的椭圆 ?a?5,c?3,?b?4
14分 5分 8分
9分
10分 11分 12分
13分 1分 2分 3分 4分 5分
x2y2??1 （x??5） 7分 所以点C的轨迹F的方程是
2516（2）?B1(0,?4),B2(0,4),A1(5,0),C(5,4),?M(,0),N(5,2)， 8分
52y?40?48?,即y??4?x 9分
5x?052y?42?42B2N的方程为?,即y?4?x 10分
?B1M的方程为x55解得x?4,y?125 即P(4,125) 144将点P代入F的方程得1625?2516?256?144400?1 所以直线B1M,B2N的交点P在动圆圆心C的轨迹F上 21. 解（1）?a?21?1,an?an?1?3?2n(n?2)，?a2?2 ?a3?4 （2）当n为偶数时an?2n?an?1?3?2， an?4n?2?an?3?3?2
?
a24?a3?3?2， a2?a1?3 ?S2n?3(2n??2n?4???22?1) n22 ?3?(2)?122?1?2n?1 当n为奇数时，an?2n?an?1?3?2， an?4n?2?an?3?3?2
?
a35?a4?3?2，a3?a2?3?2， a1?1 ?Sn?4n?3(2n?2?2???23?2)?1 n?122 ?3?2[(2)?22?1?11]?2n?1 当n?2时，ann?1n?Sn?Sn?1?2?1?2?1?2n?1 当n?1时，a1?21?1?1，?an?1n?2 11分
12分
13分
1分
2分 3分
4分
5分
6分
7分
8分
或解：?an?an?1?3?2 ?an?an?1?2 an?2n?1n?1n?2
?2n?2 1分
??(an?1?2n?2) 2分
n?1当n为偶数时：an?2??(an?1?2n?2)????(a1?20)?0 4分
n?1 ?an?2当n为奇数时：an?2n?1 5分
??(an?1?2n?2)???a1?20?0 6分
n?1 ?an?2所以an?2n?1 7分
8分
n?1或解：由a2?2得a3?4?an?2 4分
证明当n?1时成立 5分 假设当n?k时，ak?2k?1 6分
?ak?1?ak?3?2k?1,ak?1?3?2k?1?2k?1?2k 7分
对任意n有an?2（3）?2n?1n?1 8分
?2n?1?1 9分
2n?1?1 10分 ?n?12?112n?111 ?n?n?2(?) 12分 n?1nn?12?1(2?1)(2?1)2?12?1 ?11111111 ???????2?3???na2?1a3?1a4?1an?1?12?12?12?12?11311111?)2(???)?2(? ) 13分 nn?17715?212?1225? 14分 ?1??n?132?13 ?1?2(?