哈尔滨市第六中学校2010届第一次模拟考试
理科数学
1．已知复数z?a?i(a?R)在复平面内对应的点在二象限，且|z?(1?i)|?2，则实数a的取值范围是（ ）
（A）a?1或a??1 （B）a??1 （C）a?2?1或a?1?2 （D）a?1
2．已知Sn是等差数列{an}的前n项和，若S3?6,a5?8，则S12?S9的值是（ ） （A）24 （B）42 （C）60 （D）78
3．用二分法求函数f(x)?lgx?x?3的一个零点，根据参考数据，可得函数f(x)的一个零点的近似解（精确到
0.1）为（ ）（参考数据：
）
lg2.5?0.398,lg2.75?0.439,lg2.625?0.419,lg2.5625?0.409（A） 2.4 （B）2.5 （C） 2.6 （D）2.56
?y?x??x?y?2?y?3x?6P(x,y)4．已知点满足约束条件?，则z?x?2y的最大值是（ ）
（A）?3 （B）?2 （C）?1 （D）2
5．如下程序框图的功能是：给出以下十个数：5，9，80，43，95，73，28，17，60，36，把大于60的数找出来，则框图中的①②应分别填入的是（ ） （A）x?60?,i?i?1 （B）x?60?,i?i?1 （C）x?60?,i?i?1 （D）x?60?,i?i?1
② ①
x226．已知双曲线a?yb22?1的焦点到渐近线的距离为23，且双曲线右支上一点P到右焦点
的距离的最小值为2，则双曲线的离心率为（ ）
1（A）3 （B）3 （C）2 （D）2
1??3?x??x?7．?的展开式中只有第5项的二项式系数最大，则展开式中的常数项是（ ）
n（A）28 （B）?28 （C）70 （D）?70
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8．已知函数f(x)?cos(?x??)（??0,0???2?）的导函数f'(x)的图象如图所示，则??（ ）
??4?5?（A）6 （B）3 （C）3 （D）3
9．设l,m,n表示三条不同的直线，?,?,?表示三个不同的平面，给出下列四个命题： ①若l??,m?l,m??，则???；
②若m??，n是l在?内的射影，m?n，则m?l；
③若m是平面?的一条斜线，A??，l为过A的一条动直线，则可能有l?m,l??； ④若???,???，则?//?
其中真命题的个数为（ ）
（A）1 （B）2 （C）3 （D）4 10．在直角梯形ABCD中，AB//CD，?BAD?90?，且
12AB?AD?CD?1，M是AB的中点，且BN?2ND，则CM?AN的
值为（ ）
5?57?76
（A）4 （B）
4 （C）6 （D）
b11．利用计算机在区间
1(0,1)上产生两个随机数a和b，则方程x12?2a?x有实根的概率为（ ）
（A）3 （B）2 （C）3 （D）1
?x?[x],x?0f(x)???f(x?1),x?0，其中[x]表示不超过x的最大整数，如12．设函数
[?1.2]??2,[1.2]?1,[1]?1，若f(x)?kx?k有三个不同的根，则实数k的取值范围是（ ）
1111111[,],](0,][,)4 （C）43 （D）43 （A）43 （B）
(
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二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．将答案填在机读卡上相应的位置．
213．抛物线y?2px(p?0)的焦点为F，准线l与x轴交于点
M，若N为l上一点，当?MNF为等腰三角形，NF?22时，
则p? _____
14．如图一个几何体的正视图和俯视图如图所示，其中俯视图为边长为23的正三角形，且圆与三角形内切，则侧视图的面
1?1a5?1a6?1,a4a6?4积为_____15．已知数列{an}满足则a4?a5?a6?_____ 16．已知圆
2an?an?1an?1(n?N,n?2)*，若a4，
C1:(x?2cos?)?(y?2sin?)?122与圆
C2:x2?y2?1，在下列说法中：
①对于任意的?，圆C1与圆C2始终相切；
②对于任意的?，圆C1与圆C2始终有四条公切线；
???6时，圆C1被直线l:3x?y?1?0截得的弦长为3；
③当
④P,Q分别为圆C1与圆C2上的动点，则|PQ|的最大值为4．
其中正确命题的序号为______
三、解答题：本大题共6小题，共70分．解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤． 17．（本小题满分12分）
“神州”号飞船返回舱顺利到达地球后，为了及时将航天员救出，地面指挥中心在返回舱预计到达的区域安排了同一条直线上的三个救援中心（记为
B,C,D）．当返回舱距地面1万米的P点时（假定以后垂直下落，
P
北 B
并在A点着陆），C救援中心测得飞船位于其南偏东60方向，仰角
D B救援中心测得飞船位于其南偏西30方向，D为60，仰角为30．
????C A
东 救援中心测得着陆点A位于其正东方向． （1）求B,C两救援中心间的距离； （2）D救援中心与着陆点A间的距离．
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18．（本小题满分12分）
班主任为了对本班学生的考试成绩进行分析，决定从全班25位女同学，15位男同学中随机抽取一个容量为8的样本进行分析．
（1）如果按性别比例分层抽样，可以得到多少个不同的样本（只要求写出算式即可，不必计算出结果）； （2）随机抽取8位同学，数学分数依次为：60，65，70，75，80，85，90，95； 物理成绩依次为：72，77，80，84，88，90，93，95，
①若规定90分（含90分）以上为优秀，记?为这8位同学中数学和物理分数均为优秀的人数，求?的分布列和数学期望；
②若这8位同学的数学、物理分数事实上对应下表： 学生编号 数学分数x 物理分数
根据上表数据可知，变量y与x之间具有较强的线性相关关系，求出y与x的线性回归方程（系
n1 60 72 2 65 77 3 70 80 4 75 84 5 80 88 6 85 90 7 90 93 8 95 95
y?(xib?^i?1n?x)(yi?y)?x)2数精确到0.01）．（参考公式：y?bx?a，其中
8?(xii?1，a?y?bx；参考数
据：x?77.5，y?84.875，
?(xii?1?x)?105028，i?1?(xi?x)(yi?y)?688，1050?32.4，
457?21.4，550?23.5）
19．（本小题满分12分）
?在四棱锥P?ABCD中，底面ABCD是一直角梯形，?BAD?90，P AD//BC,AB?AD?a，BC?2a,PD?底面ABCD．
PFD A
（1）在PD上是否存在一点F，使得PB//平面ACF，若存在，求出FDC 的值；
若不存在，试说明理由；
（2）在（1）的条件下，若PA与CD所成的角为60?，求二面角A?CF?D的余弦值．
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B
20．（本小题满分12分）
x22已知椭圆a?yb22?12（a?b?0）的离心率为2，且短轴长为2．
（1）求椭圆的方程；
OA?OB?23，
（2）若与两坐标轴都不垂直的直线l与椭圆交于A,B两点，O为坐标原点，且
S?AOB?23，求直线l的方程．
21．（本小题满分12分） 已知f(x)?lnx，
g(x)?x?ax(a?R)．
（1）求f(x)?g(x)的单调区间；
（2）若x?1时，f(x)?g(x)恒成立，求实数a的取值范围；
ln2ln3lnn1?????*4n?1n． （3）当n?N,n?2时，证明：3
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