23．（本小题满分10分） 选修4-4：坐标系与参数方程选讲
?x?2sin??x?2t??y?cos?CC??21已知曲线的参数方程为（为参数），曲线的参数方程为?y?t?1（t为参
数）.
（1）若将曲线C1与C2上各点的横坐标都缩短为原来的一半，分别得到曲线C1和C2，求出曲线
C1'''和
C2'的普通方程；
'（2）以坐标原点为极点，x轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，求过极点且与C2垂直的直线的极坐标方程．
24．（本小题满分10分） 选修4-5：不等式选讲
设函数f(x)?|2x?1|?|2x?3|，x?R． （1）解不等式：f(x)?5；
g(x)?1f(x)?m（2）若
的定义域为R，求实数m的取值范围．
- 6 -
理科数学答案
1-5 BCCDA 6-10 CABBD 11-12 AD 13．2， 14．6??，15.4， 16.①③④
17：解：（1）由题意知PA?AC,PA?AB，则?PAC,?PAB均为直角三角形????1分
AC在Rt?PAC中，PA?1,?PCA?60?，解得
?33??????????2分 ??????????3分
在Rt?PAB中，PA?1,?PBA?30?，解得AB又?CAB?90?，（2）
又?CAD?30?，所以
BC?AC2?3?BC2?303万米. ??????????5分
110sin?ACD?sin?ACB?310cos?ACD??，，??????????7分
210sin?ADC?sin(30???ACD)?33?1.??????????9分
AC在?ADC中，由正弦定理，sin?ADCAD?AC?sin?ACDsin?ADC?9?133?ADsin?ACD??????????10分
万米??????????12分
25?8?51518．（1）抽取男生数40则共有
C25C1553人，40?8?3??????????1分
个不同样本??????????3分
（2）?的所有可能取值为0，1，2??????????4分
P(??0)?A5A68A826?2056P(??1)?C2C3C5A68A81116?3056P(??2)?A3A68A826?656，，????7分
?的分布列为 ? p0 2056 2056?1?30561 3056 ?2?656?342 656 E??0???????????9分
（3）b?0.655，a?34.11（a?34.09或a?34.10也算正确）??????????11分 则线性回归方程为：y?0.655x?34.11??????????12分
PF19．（1）方法一：存在点F使PB//平面ACF，DF连接BD交AC于E，连接EF，AD//BC,AD?a,BC?2a?2??????????1分
ADBC?DEEB?DFPF?12，所以
，所以PB//EF?分
- 7 -
又EF?平面ACF，PB不在平面ACF内，所以PB//平面ACF??????????5分 方法二：建立如图所示的空间直角坐标系，D(0,0,0)，A(0,a,0)，B(a,a,0)，C(a,?a,0)，?设PD?b，则P(0,0,b)，假设存在点F使PB//平面ACF，F(0,0,?b)(0???1)???2分 设平面ACF的一个法向量为n?(x,y,z)，AC?(a,?2a,0),FA?(0,a,??b)，PB?(a,a,?b)
??n?AC?0???n?FA?0，
n?(2,1,a?b，所以n?PB?0，
)2a?a?a??0,??13PF??4分 所以DF?2??5分
（2）PA?(0,a,?b)，DC?(a,?a,0)，因为PA与CD所成的角为60?
cos60??|cos?PA?DC?|?|PA?DC||PA|?|DC|?aa222??2a12所以
?b，则a?b?????7分
由（1）知平面ACF的一个法向量为n?(2,1,3)??????????8分 因为?BAD所以BC2?90,AB?AD?a，BC?2a?，所以CD?2a,BD?2a,
?CD2?BD，所以BD?BC，又PD?底面ABCD，则BD?平面CDF，
2所以DB?(a,a,0)是平面CDF的一个法向量??????????10分
cos?n?DB??n?DB|n|?|DB|?3a14?2aca?37142237所以，所以二面角的余弦值为
14????12分
e?20．（1）短轴长2b?2,b?1，
???????????1分
x2又a2?b22?c，所以a?2,c?1，所以椭圆的方程为
2?y2?1??????????4分
（2）设直线l的方程为y?kx?m(k?0)，A(x1,y1),B(x2,y2)
?y?kx?m?22?x?2y?2，消去
y得，
(1?2k)x22?4mkx?2m2?2?0
?4mk?x?x?12?21?2k??2?x?x?2m?2122?1?2k?，??????????6分
23OA?OB?x1x2?y1y2?3m2?2k22?2即
12221?2k?2322 即9m?10k?8??????????8分
S?AOB?12|m||x1?x2|?m[(x1?x2)?4x1x2]?2128m(1?2k222?m)22(1?2k)?23
即
9m(1?2k22?m)?(1?2k)22??????????10分
- 8 -
22222??9m(1?2k?m)?(1?2k)?22??9m?10k?8，解得kax2?1,m2?2，所以y??x?2?????12分
21．（1）
F(x)?'F(x)?f(x)?g(x)?lnx?x?2(x?0)
1x?1?ax2??x?x?ax2??????????1分
14当??1?4a?0，即当??1?4a?0，即①
?14?a?0a??时，时，
F(x)?0''，所以F(x)在(0,??)上单调递减?????2分
?1?4a?12,x2?1?4a?12,a??14F(x)?0,x1?
时，x1?0,x2?0，单调增区间为(0,x2)，单调减区间为(x2,??)?????3分
②a?0时，x1?0,x2?0，单调增区间为(x1,x2),，单调减区间为(0,x1),(x2,??)???5分 综上：①
?14a??14时，F(x)在(0,??)上单调递减（只要写出以上三种情况即得5分）
?a?0②
时，x1?0,x2?0，单调增区间为(0,x2)，单调减区间为(x2,??)
③a?0时，x1?0,x2?0，单调增区间为(x1,x2),，单调减区间为(0,x1),(x2,??)
lnx?x?ax恒成立，等价于a?[xlnx?x]max??????????6分
1x2（2）
k(x)?xlnx?x'2，
k(x)?1?lnx?2x'''[k(x)]?''?2?0，
k(x)在
[1,??)上单调递减，
k(x)?k(1)??1?0，k(x)在[1,??)上单调递减，
所以k(x)的最大值为k(1)??1，所以a??1??????????8分
lnx?x?1x恒成立
证法一：由（2）知当a??1时，x?1时，
lnn?n?所以n?N,n?2时，有
*1n?lnnn?1?n?1n??????????10分
ln23ln34?lnn??1223,,所以n?1?n?1nln2ln3lnn1?????4n?1n??????????12分 相乘得3方法二：数学归纳法
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（1）当n?2时，显然成立???????9分
ln2ln3lnk1?????*4k?1k （2）假设n?k（n?N,n?2）成立，即3ln2ln3lnkln(k?1)1ln(k?1)???????4k?1k?2kk?2 那么当n?k?1时，31ln(k?1)k?21k?1，(k?1)ln(k?1)?k(k?2)
2下面只需证k??设t?k?1?3，所以设k(t)?tlnt?t?1
1x恒成立，
由（2）知当a??1时，x?1时，
lnx?x?即k(t)?tlnt?t2ln2ln3lnkln(k?1)1????????1?04k?1k?2k?1 在t?k?1?3恒成立，所以3综合（1）（2）命题成立??????????????????????12分
x?sin?'?C1:??y?cos?（?为参数）23．解：（1），?????2分 ?x?tC:??y?t?1（t为参数）??????4分
'2C1'的普通方程：
x2?y2?1，
C2'的普通方程：y?x?1??????6分
C2'（2）在直角坐标系中过极点即为过原点与曲线
??垂直的直线方程：即为y??x????8分
??3?4??????10分（少写一
?4或
在极坐标系中，直线化为tan??1，方程为
1??x?2??4?4x?5?3?1??x?2?2?2?5?3??x?2??4x?4?5?24．（1）或或????3分
x?[?不等式的解集为
g(x)?1f(x)?m19,]44???5分
（2）若
的定义域为R，则f(x)?m?0恒成立，即f(x)?m?0在R上无解7
又f(x)?|2x?1|?|2x?3|?|2x?1?2x?3|?2，f(x)的最小值为2，????9分 所以m??2??????????????????10分
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