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哈尔滨市第六中学校2010届第一次模拟考试
理科数学
考试说明：本试卷分第I卷（选择题）和第II卷（非选择题）两部分，满分150分，考试时间120分钟．
（1）答题前，考生先将自己的姓名、准考证号码填写清楚；
（2）选择题必须使用2B铅笔填涂, 非选择题必须使用0.5毫米黑色字迹的签字笔书写, 字体工整, 字迹清楚； （3）请在各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效，在草稿纸、试题卷上答题无效； （4）保持卡面清洁，不得折叠、不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、刮纸刀． 参考公式：
样本数据x1,x2,?,xn的标准差s?131n柱体体积公式V?Sh，其中S为底面面积，h为高；
?(x1?x)?(x2?x)???(xn?x)222?，其中x为样本的平均数
锥体体积公式V?Sh，其中S为底面面积，h为高
433?R，其中R为球的半径
球的表面积和体积公式S?4?R2，V?第Ⅰ卷（选择题 共60分）
一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一个是符合题目要
求的．
1．已知复数z?a?i(a?R)在复平面内对应的点在二象限，且|z?(1?i)|?2，则实数a的取值范围是（ ） （A）a?1或a??1 （B）a??1 （C）a?2?1或a?1?2 （D）a?1 2．已知Sn是等差数列{an}的前n项和，若S3?6,a5?8，则S12?S9的值是（ ）
（A）24 （B）42 （C）60 （D）78
3．用二分法求函数f(x)?lgx?x?3的一个零点，根据参考数据，可得函数f(x)的一个零点的近似解（精确到0.1）为（ ）（参考数据：lg2.5?0.398,lg2.75?0.439,lg2.625?0.419,lg2.5625?0.409） （A） 2.4 （B）2.5 （C） 2.6 （D）2.56
?y?x?4．已知点P(x,y)满足约束条件?x?y?2，则z?x?2y的最大值是（ ）
?y?3x?6?（A）?3 （B）?2 （C）?1 （D）2
5．如下程序框图的功能是：给出以下十个数：5，9，80，43，95，73，28，17，60，36，把大于60的数找出来，则框图中的①②应分别填入的是（ ） （A）x?60?,i?i?1 （B）x?60?,i?i?1 （C）x?60?,i?i?1 （D）x?60?,i?i?1 6．已知双曲线
x22ab焦点的距离的最小值为2，则双曲线的离心率为（ ）
?y22?1的焦点到渐近线的距离为23，且双曲线右支上一点P到右
①
（A）3 （B）3 （C）2 （D）
n12
②
1??7．?3x??的展开式中只有第5项的二项式系数最大，则展开式中的常数项是（ ）
x??（A）28 （B）?28 （C）70 （D）?70
8．已知函数f(x)?cos(?x??)（??0,0???2?）的导函数f'(x)的图象示，则??（ ） （A）
?6如图所
（B）
?3 （C）
4?3 （D）
5?3
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9．设l,m,n表示三条不同的直线，?,?,?表示三个不同的平面，给出下列四个命题： ①若l??,m?l,m??，则???； ②若m??，n是l在?内的射影，m?n，则m?l；
③若m是平面?的一条斜线，A??，l为过A的一条动直线，则可能有l?m,l??； ④若???,???，则?//?
其中真命题的个数为（ ）
（A）1 （B）2 （C）3 （D）4 10．在直角梯形ABCD中，AB//CD，且AB?AD??BAD?90?，则CM?AN的值为（ ） （A）
11．利用计算机在区间(0,1)上产生两个随机数a和b，则方程概率为（ ） （A）
13bx?2a?x有
5412且BN?2ND，CD?1，M是AB的中点，
（B）?54 （C）
76 （D）?76
实根的
（B）
12 （C）
23 （D）1
12．设函数f(x)???x?[x],x?0?f(x?1),x?0，其中[x]表示不超过x的最大整数，如[?1.2]??2,[1.2]?1,[1]?1，若
f(x)?kx?k有三个不同的根，则实数k的取值范围是（ ）
（A）(,] （B）(0,] （C）[,] （D）[,)
43443431111111第Ⅱ卷（非选择题 共90分）
本试卷包括必考题和选考题两部分．第13题～第21题为必考题，每个试题考生都必须作答．第22题～第24题为选考题，考生根据要求作答．
二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．将答案填在机读卡上相应的位置．
13．抛物线y2?2px(p?0)的焦点为F，准线l与x轴交于点M，若N为l上一点，当?MNF为等腰三角形，
NF?22时，则p? _____
14．如图一个几何体的正视图和俯视图如图所示，其中俯视图为边
23的正三角形，且圆与三角形内切，则侧视图的面积为_____
2*15．已知数列{an}满足an?an?1an?1(n?N,n?2)，若
长为
1a4?1a5?1a6?1,a4a6?4，则a4?a5?a6?_____
222216．已知圆C1:(x?2cos?)?(y?2sin?)?1与圆C2:x?y?1，在下列说法中： ①对于任意的?，圆C1与圆C2始终相切；
②对于任意的?，圆C1与圆C2始终有四条公切线； ③当???6时，圆C1被直线l:3x?y?1?0截得的弦长为
3；
④P,Q分别为圆C1与圆C2上的动点，则|PQ|的最大值为4．
其中正确命题的序号为______
三、解答题：本大题共6小题，共70分．解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤． 17．（本小题满分12分）
“神州”号飞船返回舱顺利到达地球后，为了及时将航天员救出，地面P 北 在返回舱预计到达的区域安排了同一条直线上的三个救援中心（记为
B
D C A
东 指挥中心
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B,C,D）．当返回舱距地面1万米的P点时（假定以后垂直下落，并在A点着陆），C救援中心测得飞船位于
其南偏东60?方向，仰角为60?，B救援中心测得飞船位于其南偏西30?方向，仰角为30?．D救援中心测得着陆点A位于其正东方向．
（1）求B,C两救援中心间的距离； （2）D救援中心与着陆点A间的距离． 18．（本小题满分12分）
班主任为了对本班学生的考试成绩进行分析，决定从全班25位女同学，15位男同学中随机抽取一个容量为8的样本进行分析．
（1）如果按性别比例分层抽样，可以得到多少个不同的样本（只要求写出算式即可，不必计算出结果）； （2）随机抽取8位同学，数学分数依次为：60，65，70，75，80，85，90，95； 物理成绩依次为：72，77，80，84，88，90，93，95， ①若规定90分（含90分）以上为优秀，记?为这8位同学中数学和物理分数均为优秀的人数，求?的分布列和数学期望； ②若这8位同学的数学、物理分数事实上对应下表：
学生编号 数学分数x 物理分数y 1 60 72 7 5 70 2 60 84 3 75 88 4 70 80 5 85 93 6 80 95 7 95 98 9
根据上表数据可知，变量y与x之间具有较
^强的线性相关关系，求出y与x的线性回归方程（系数精确到0.01）．（参考公式：y?bx?a，其中
n?(xib?i?1ni?1?x)(yi?y)8，a?y?bx；参考数据：x?77.5，y?84.875，
?x)2?(xii?1?x)?10502，
?(xi8?(xii?1?x)(yi?y)?688，1050?32.4，
457?21.4，550?23.5）
19．（本小题满分12分）
?在四棱锥P?ABCD中，底面ABCD是一直角梯形，?BAD?90，AD//BC,AB?AD?a，BC?2a,PD?P 底面ABCD．
（1）在PD上是否存在一点F，使得PB//平面ACF，若存在，求出
PFFD的值；
D A
的余弦值． B
若不存在，试说明理由；
（2）在（1）的条件下，若PA与CD所成的角为60?，求二面角A?CF?D
C
20．（本小题满分12分） 已知椭圆
x22ab（1）求椭圆的方程；
?y22?1（a?b?0）的离心率为
22，且短轴长为2．
（2）若与两坐标轴都不垂直的直线l与椭圆交于A,B两点，O为坐标原点，且OA?OB?直线l的方程． 21．（本小题满分12分） 已知f(x)?lnx，g(x)?x?ax23，S?AOB?23，求
(a?R)．
（1）求f(x)?g(x)的单调区间；
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（2）若x?1时，f(x)?g(x)恒成立，求实数a的取值范围； （3）当n?N,n?2时，证明：
*ln2ln3lnn1?????． 34n?1n请考生在22、23、24三题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分．
22．（本小题满分10分） 选修4-1：几何证明选讲
如图，已知C点在⊙O直径的延长线上，CA切⊙O于A点，DC是平分线，且交AE于F点，交AB于D点． （1）求?ADF的度数；
（2）若AB?AC，求AC:BC． 23．（本小题满分10分）
选修4-4：坐标系与参数方程选讲 已知曲线C1的参数方程为??x?2sin??y?cos??ACB的
（?为参数），曲线C2的参数方程为??x?2t?y?t?1（t为参数）.
''（1）若将曲线C1与C2上各点的横坐标都缩短为原来的一半，分别得到曲线C1'和C2，求出曲线C1'和C2的普
通方程；
'（2）以坐标原点为极点，x轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，求过极点且与C2垂直的直线的极坐标方程．
24．（本小题满分10分） 选修4-5：不等式选讲
设函数f(x)?|2x?1|?|2x?3|，x?R． （1）解不等式：f(x)?5； （2）若g(x)?
1f(x)?m的定义域为R，求实数m的取值范围．
理科数学答案
1-5 BCCDA 6-10 CABBD 11-12 AD 13．2， 14．6??，15.4， 16.①③④ 17：解：（1）由题意知PA?AC,PA?AB，则?PAC,?PAB均为直角三角形???????1分 在Rt?PAC中，PA?1,?PCA?60?，解得AC?3??????????2分
3在Rt?PAB中，PA?1,?PBA?30?，解得又?CAB?90?，BC（2）sin?AC2AB?3??????????3分
?BC2?303万米. ??????????5分
??110?ACD?sin?ACB?310，cos?ACD，??????????7分
taoti.tl100.com 你的首选资源互助社区 ?sin(30???ACD)?33?1.??????????9分 210又?CAD?30?，所以sin?ADC在?ADC中，由正弦定理，
AD?AC?sin?ACDsin?ADC?9?3ACsin?ADC?ADsin?ACD??????????10分
万米??????????12分
1540?8?31318．（1）抽取男生数2540?8?5人，
??????????1分
则共有C5253C15个不同样本??????????3分
，P(?C2C3C5A68A81116（2）?的所有可能取值为0，1，2??????????4分
P(??0)?A5A68A826?2056?1)??3056，P(??2)?A3A68A826?656????7分
?的分布列为
? p 0 20561 30562 656 E??0?2056?1?3056?2?656 ?34 ??????????9分
（3）b?0.655，a?34.11（a?34.09或a?34.10也算正确）??????????11分 则线性回归方程为：y?0.655x?34.11??????????12分 19．（1）方法一：存在点F使PB//平面ACF，PFDF?2??????????1分
ADBC?DEEB?DFPF?12连接BD交AC于E，连接EF，AD//BC,AD?a,BC?2a，所以，所以PB//EF?4分
又EF?平面ACF，PB不在平面ACF内，所以PB//平面ACF??????????5分
方法二：建立如图所示的空间直角坐标系，D(0,0,0)，A(0,a,0)，B(a,a,0)，C(a,?a,0)，?1分 设PD?b，则P(0,0,b)，假设存在点F使PB//平面ACF，F(0,0,?b)(0???1)???2分 设平面ACF的一个法向量为n?(x,y,z)，AC?(a,?2a,0),FA?(0,a,??b)，PB?(a,a,?b)
??n?AC?0，???n?FA?0n?(2,1,PF)，所以n?PB?0，2a?a?a?0,??1??4分 所以?2??5分 ?bDF?3a（2）PA?(0,a,?b)，DC?(a,?a,0)，因为PA与CD所成的角为60? 所以cos60??|cos?PA?DC?|?|PA?DC||PA|?|DC|?aa222??2a12，则a?b?????7分
?b由（1）知平面ACF的一个法向量为n?(2,1,3)??????????8分 因为?BAD?90?,AB?AD?a，BC?2a，所以CD?所以BC22a,BD?2a,
?CD2?BD，所以BD?BC，又PD?底面ABCD，则BD?平面CDF，
2所以DB?(a,a,0)是平面CDF的一个法向量??????????10分 所以cos?n?DB??n?DB|n|?|DB|?3a14?2aca??371422，所以二面角的余弦值为3147????12分
20．（1）短轴长2b?2,b?1，e?222又a?b?c，所以a???????????1分
x22,c?1，所以椭圆的方程为
2?y2?1??????????4分
（2）设直线l的方程为y?kx?m(k?0)，A(x1,y1),B(x2,y2)
?y?kx?m，消去?22?x?2y?2y得，(1?2k)x22?4mkx?2m2?2?0