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18.(12分)
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19.(12分)
20.(13分)
21.(14分)
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江西师大附中高三数学(理)入学考试卷答案2013．8
一、选择题（本大题共10小题，每小题5分，共50分） 题1 2 3 4 5 6 序 选A B A C B C 项 二、填空题（共5小题，每小题5分,共25分）
11．10； 12．3?5； 13．125； 14．6； 15．（1）(2,三、解答题（本大题共6小题，共75分．） 16． (本小题满分12分) 解：（1）由正弦定理可设
7 C 8 B 9 C 10 D ?4),(2,3?（2）1． )，4abc2243， ?????sinAsinBsinCsin60?3324343sinA,b?sinB， 所以a?3343(sinA?sinB)a?b43所以． …………………6分 ?3?sinA?sinBsinA?sinB3222222（2）由余弦定理得c?a?b?2abcosC，即4?a?b?ab?(a?b)?3ab，
又a?b?ab，所以(ab)?3ab?4?0，解得ab?4或ab??1（舍去）， 所以S?ABC?2113absinC??4??3．…………………12分 222217．（本小题满分12分）
12?1?1137解：(1) P???2???????
33233436??（2）X可取0，1，2，3，4 P（X?0)?P（X P（XP（X P（X22114???=， 332236121121112211?1)?C2????+C2????=，
33223322361111111211221113?2)????+C2?C2????+???=，
3322332233223661121111111?3)?C2????+C2????=，
332233223611111?4)????=
332236X P 0 1 2 3 4 X的分布列为：
4121361 363636363641213615∴EX??0+?1+?2+?3+?4=．
3636363636318．(本小题满分12分)
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解：(1)设等差数列{an}的公差是d，则
?a1?2d?4,?a1?8, 解得?………1分 ?3a?3d?8d??2??1∴Sn?na1?∴
Sn?Sn?22S?Sn?2∴n?Sn?1，适合条件①………3分
2981又Sn??n2?9n??(n?)2?，
24∴当n?4或n?5时，Sn取得最大值20，即Sn?20，适合条件②．……5分
综上，{Sn}?W ………6分
（2）∵bn?1?bn?5(n?1)?2n?1n(n?1)??n2?9n 2(S?Sn?1)?(Sn?1?Sn)an?2?an?1d?Sn?1?n?2????1?0
222?(5n?2n)?5?2n，
∴当n?3时，bn?1?bn，此时，数列{bn}单调递减；………9分 当n?1,2时，bn?1?bn?0，即b1?b2?b3，………10分 因此，数列{bn}中的最大项是b3?7，………11分 ∴M?7，即M的取值范围是?7,???．………12分 19．（本小题满分12分）
解：(1)设AC与BD交于O，如图所示建立空间直角坐标系O?xyz，
设AB?2，则A(3,0,0),B(0,1,0),C(?3,0,0),D(0,?1,0),D1(0,?1,2),??????????????设E(0,1,2?h),则D1E?(0,2,h),CA?(23,0,0),D1A?(3,1,?2),
?D1E?平面D1AC，∴D1E?AC ，D1E?D1A1
?2?2h?0,?h?1,即E(0,1,3) ……………………2分 ??????????D1E?(0,2,1),AE?(?3,1,3) ????????x?0????m?CA设平面EAC的法向量为m?(x,y,z)，则由??????， ?，得????3x?y?3z?0??m?AE??令z??1，?平面EAC的一个法向量为m?(0,3,?1)
???????????????????m?D1E2??????, 又平面D1AC的法向量为D1E?(0,2,1),?cos?m,D1E????2|m|?|D1E|?二面角E?AC?D1大小为45?……………………………………………6分
??????????????????????????????2??(2)设D1P??PE??(D1E?D1P),得D1P?D1E?(0,,),
1??1??1????????????????2????1??A1P?A1D1?D1P??(?3,?1,0)?(0,,)?(?3,,)…10分
1??1??1??1??????????1?3?A1P//面EAC,?A1P?m,??3?0?3??(?1)??0,???,
1??1??2∴存在点P使A1P//面EAC,此时D1P:PE?3:2……………………12分
20．(本小题满分13分)
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c2a2?b21c14222解：(1)由题意知e??，∴e?2?，即?a?b 24a23aa6又b?b2?3 ?3，∴a2?4，1?1y2x2故椭圆的方程为??1 5分
43(2)由题意知直线AB的斜率存在，设直线PB的方程为y?k(x?4) ?y?k(x?4)?由?x2得：(4k2?3)x2?32k2x?64k2?12?0 6分 y2??1?3?41 432k264k2?12设A(x1，y1)，B (x2，y2)，则x1?x2?2 ① 8分 ，x1x2?4k?34k2?3由??(?32k2)2?4(4k2?3)(64k2?12)?0得：k2?∴y1y2?k(x1?4)k(x2?4)?k2x1x2?4k2(x1?x2)?16k2
????????64k2?1232k287222∴OA?OB?x1x2?y1y2?(1?k)? 10?4k??16k?25?4k2?34k2?34k2?3分
????????187878713∵0≤k?，∴?，∴OA?OB?[?4，) ≤?2??43444k?3????????13∴OA?OB的取值范围是[?4，) 13分
4221．（本小题满分14分） xx解：（1）∵f(x)?e?a(x?1)，∴f?(x)?e?a，
∵a?0 ，f?(x)?e?a=0的解为x?lna， ∴f(x)min?f(lna)?a?a(lna?1)??alna， ∵f(x)?0对一切x∈R恒成立，∴?alna?0，∴alna?0，∴amax?1． （2）设x1、x2是任意的两实数，且x1?x2 xg(x2)?g(x1)?m，故g(x2)?mx2?g(x1)?mx1 x2?x1∴不妨令函数F(x)?g(x)?mx，则F(x)在上单调递增， （??，??）∴F?(x)?g?(x)?m?0恒成立 ∴对任意的a??1，x?R，m?g?(x)恒成立 g?(x)?ex?a?aax?2e?(?)?a=?a?2?a?(?a?1)2?1?3， xxee故m?3 ii??ii2n?in)?e2，（3）由（1）知e≥x+1，取x=?，i?1,3,?2n?1,得1- ?e2n，即(2n2n2nx132n?1n)?e累加得：()n?()n???(2n2n2n2n?1?2?e2n?3?2???e1?2e(1?e?n)e?? e?11?e?1?12∴1?3???(2n?1)?nnne(2n)n e?1- 10 -
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故存在正整数a=2．使得?1n?3n???(2n?1)n? e(an)n e?1 - 11 -