（18）（本小题满分12分）
（Ⅰ）证明：因为F,G分别为PB，BE的中点，
所以FG?PE.
又FG?平面PED，PE?平面PED， 所以FG?平面PED. ????4分 （Ⅱ）因为EA?平面ABCD，EA?PD，
所以PD?平面ABCD， 所以PD?AD，PD?CD. 又因为四边形ABCD是正方形， 所以AD?CD.
如图，建立空间直角坐标系， 因为AD?PD?2EA?2,
所以D?0,0,0?，P?0,0,2?，A?2,0,0?，
A x E D G B F C y z P H C?0,2,0?，B?2,2,0?，E(2,0,1)．
????5分
因为F，G， H分别为PB，EB，PC的中点，
????????111所以F?1,1,1?，G(2,1,)，H(0,1,1). 所以GF?(?1,0,)，GH?(?2,0,).
2221??????x?z?0???121?n1?GF?0设n1?(x1,y1,z1)为平面FGH的一个法向量，则?,即?， ???????2x?1z?0?n1?GH?011??2????????再令y1?1，得n1?(0,1,0).PB?(2,2,?2),PC?(0,2,?2).
??????n2?PB?0设n2?(x2,y2,z2)为平面PBC的一个法向量,则?, ??????n2?PC?0?2x2?2y2?2z2?0即?，令z2?1，得n2?(0,1,1).
2y?2z?0?22所以cosn1,n2=
n1?n2n1?n2=
2. 2?. ????8分 4所以平面FGH与平面PBC所成锐二面角的大小为
（Ⅲ）假设在线段PC上存在一点M,使直线FM与直线PA所成角为60.
??????????依题意可设PM??PC,其中0???1.
?????????由PC?(0,2,?2),则PM?(0,2?,?2?).
???????????????????????又因为FM?FP?PM,FP?(?1,?1,1)，所以FM?(?1,2??1,1?2?).
????因为直线FM与直线PA所成角为60，PA?(2,0,?2)，
??????????1?2?2?4?15所以cosFM,PA=，即?，解得??.
222?1?2(2??1)228??????????5255所以PM?(0,,?)，PM?.
444所以在线段PC上存在一点M,使直线FM与直线PA所成角为60，此时PM??52. 4???????????????12分
19. （本题12分）
解：(Ⅰ)函数h(x)定义域为{x|x≠-a}，????1分 则
h?(x)?f?(x)?g?(x)??1?2bx?3， ???????????????????3
(x?a)2分
?h(x)在点（1，0）处的切线斜率为0，
?1?b?3?0,4??h(1)?0,??a?0,?1?a?a??,即?,解得?或???3????????5分
1?h(1)?0.b??2,??????2b?3?0.?b??6.2(1?a)?? (Ⅱ)记?(x)=
g(x)2
，则?(x)=(x+a)(bx+3x)(x≠-a), f(x)?ab=8，所以b?882，??(x)?(x?a)(x?3x)(x≠-a), aa11???(x)?(24x2?22ax?3a2)?(4x?3a)(6x?a),
aa31令??(x)?0，得x??a，或x??a, ???????????7分
4631?因为a??3,???，?所以?a??a，
463131?故当x??a，或x??a时，??(x)?0，当?a?x??a时，??(x)?0，
464631?函数?(x)的单调递增区间为(??,?a),(?a,?a),(?a,??)，
4631单调递减区间为(?a,?a), ????????????????9分
463a9a1?a?[3,??),????,???，
4462a① 当???2，即a?12时, ??(x)在[-2,-1]单调递增,
664 ???????????????10??(x)在该区间的最小值为?(?2)???44?6a，
a分
a??1时,即6?a?12, 6aa单调递减, 在(?,?1]单调递增， ??(x)在[-2,??66a252a，??????????????????11??(x)在该区间的最小值为?(?)??6108② 当?2??分 ③当?a??1时,即3?a?6时, 68??(x)在[-2,-1]单调递减, ??(x)在该区间的最小值为?(?1)???11?3a，???12
a分
综上所述，当3?a?6时，最小值为?当a?12时，最小值为?
20（本小题共13分） 解: (Ⅰ)因为
c3?，a2?b2?c2， a2所以 a?2b．
8252?11?3a；当6?a?12时，最小值为?a；a10864?44?6a. （不综述者不扣分） a因为原点到直线AB：解得a?4，b?2．
ab45xy?， ??1的距离d?5aba2?b2x2y 故所求椭圆C的方程为??1．
1642(Ⅱ)因为点P?x0,y0?关于直线y?2x的对称点为P1?x1,y1?， ?y0??x所以 ?0?y0???y1?2??1,?x1
?y1x0?x1?2?.224y?3x03y?4x0解得 x1?0，y1?0．
5522所以x12?y12?x0． ?y0x2y因为点P?x0,y0?在椭圆C:??1上，
16423x0所以x?y?x?y?4?．
4212120202因为?4?x0?4， 所以4?x12?y12?16． 所以x12?y12的取值范围为?4,16?． (Ⅲ)由题意
?y?kx?1,?2消去y ，整理得 ?xy2??1??164 (1?4k)x?8kx?12?0．
可知??0． 设E(x2,y2)，F(x3,y3)，EF的中点是M(xM,yM)，
22x2?x3?4k1，． ?y?kx?1?MM21?4k21?4k2y?21??． 所以kBM?MxMk则xM?所以xM?kyM?2k?0．
?4kk??2k?0．
1?4k21?4k2又因为k?0， 即 所以k2?
21．所以k??．
48
21.（本小题满分14分）
（Ⅰ）解：当n?6时，排列3,5,1,4,6,2的生成列为0,1,?2,1,4,?3； ??????2分
排
列
0??,的母列为
3,． ??????4分
?,a2?,?,an?的生成列是与b1?,b2?,?,bn?．（Ⅱ）证明：设a1,a2,?,an的生成列是b1,b2,?,bn；a1
?,a2?,?,an?第一个不同的项为ak与ak?，即：从右往左数，设排列a1,a2,?,an与a1?，an?1?an?． ??1，?，ak?1?ak??1，ak?akan?an??1，?，bk?1?bk??1，下面证明：bk?bk?，bn?1?bn?． ??????显然 bn?bn6分
由满意指数的定义知，ai的满意指数为排列a1,a2,?,an中前i?1项中比ai小的项的个数减去比ai大的项的个数．
由于排列a1,a2,?,an的前k项各不相同，设这k项中有l项比ak小，则有k?l?1项比ak大，从而bk?l?(k?l?1)?2l?k?1．
?,a2?,?,an?中有l?项比ak?小，则有k?l??1项比ak?大，从而同理，设排列a1??2l??k?1． bk?,a2?,?,ak?是k个不同数的两个不同排列，且ak?ak?， 因为 a1,a2,?,ak与a1?． 所以 l?l?， 从而 bk?bk所
以
排
列
a1,a2,?,an和
?,a2?,?,an?a1的生成列也不
同． ??????9分
（Ⅲ）证明：设排列a1,a2,?,an的生成列为b1,b2,?,bn，且ak为a1,a2,?,an中从左至右第一
个
满
意
指
数
为
负
数
的
项
，
所
以
b1?0,b2?0,?,bk?1?0,bk??1． ??????10分
进行一次变换?后，排列a1,a2,?,an变换为ak,a1,a2,?ak?1,ak?1,?,an，设该排列的
?,b2?,?,bn?． 生成列为b1??b2????bn?)?(b1?b2???bn) 所以 (b1?[g(a1?ak)?g(a2?ak)???g(ak?1?ak)]?[g(ak?a1)?g(ak?a2)???g(ak?ak?1)] ?? 2[g(aa)?g()??gk(a??k?1ka?2a?k1a)]??2bk?2． ??????
12分
因此，经过一次变换?后，整个排列的各项满意指数之和将至少增加2． 因为ai的满意指数bi?i?1，其中i?1,2,3,?,n，
所以，整个排列的各项满意指数之和不超过1?2?3???(n?1)?即整个排列的各项满意指数之和为有限数，
所以经过有限次变换?后，一定会使各项的满意指数均为非负数． ??????14分
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(n?1)n， 2