（江苏专用）2018版高考数学专题复习 专题2 函数概念与基本初等
函数 第7练 函数的单调性与最值练习 文
训练目标 (1)函数单调性的概念；(2)函数的最值及其几何意义． (1)判断函数的单调性；(2)利用函数单调性比较大小、解不等式；(3)利用函数训练题型 单调性求最值． (1)判断函数单调性常用方法：定义法、图象法、导数法、复合函数法；(2)分解题策略 段函数单调性要注意分界点处函数值的大小；(3)可利用图象直观研究函数单调性. 1．(2016·徐州模拟)下列函数，满足对任意x1，x2∈(0，＋∞)，都有的是________．(填序号) 2
①f(x)＝；②f(x)＝－3x＋1；
f?x1?－f?x2?
＞0
x1－x2
x12
③f(x)＝x＋4x＋3；④f(x)＝x＋. x2．(2016·黑龙江牡丹江一中期中)函数y＝3x－3x＋2，x∈[－1,2]的值域是____________． 3．(2016·宿迁、徐州三模)已知函数f(x)是定义在R上的奇函数，且当x≤0时，f(x)＝－x－3x，则不等式f(x－1)＞－x＋4的解集是____________．
4．(2016·南通一模)若函数f(x)＝ax＋20x＋14(a＞0)对任意的实数t，在闭区间[t－1，
2
2
2
t＋1]上总存在两个实数x1，x2，使得|f(x1)－f(x2)|≥8成立，则实数a的最小值为________．
1??x2＋ax－2，x≤1，
25．(2016·陕西西藏民族学院附中期末)若函数f(x)＝???ax－a，x＞1∞)上是增函数，则a的取值范围是__________．
在(0，＋
?1?2
6．函数y＝??－x－4x＋3的单调递增区间是_____________________________________．
?2?
??x＋4x，x≥0，
7．已知函数f(x)＝?2
??4x－x，x＜0.
2
若f(2－a)＞f(a)，则实数a的取值范围是
2
____________．
??e－k，x≤0，
8．已知函数f(x)＝?
???1－k?x＋k，x＞0
x
是R上的增函数，则实数k的取值范围是
1
____________．
9．y＝－x＋2|x|＋3的单调增区间为________________． 2??x＋－3，x≥1，
10．(2015·浙江)已知函数f(x)＝?x??lg?x2＋1?，x＜1，的最小值是________．
??x－4x＋3，x≤0，
11．已知f(x)＝?2
?－x－2x＋3，x＞0.?
2
2
则f[f(－3)]＝________，f(x)
当x∈[－2,2]时不等式f(x＋a)≥f(2a－x)恒成立，
则实数a的最小值是________．
??a?x＜0?，
12．已知函数f(x)＝?
??a－3?x＋4a?x≥0??
x
满足对任意x1≠x2，都有
f?x1?－f?x2?
x1－x2
＜0成立，则a的取值范围是____________． 13．已知函数f(x)＝
bx＋c1
(a，b，c∈R，a＞0)是奇函数，若f(x)的最小值为－，且f(1)ax2＋12
2
＞，则实数b的取值范围是______________． 5
14．对于函数f(x)，若存在区间A＝[m，n]，使得{y|y＝f(x)，x∈A}＝A，则称函数f(x)为“同域函数”，区间A为函数f(x)的一个“同域区间”．给出下列四个函数： π2x①f(x)＝cos x；②f(x)＝x－1；③f(x)＝|2－1|；④f(x)＝log2(x－1)．
2存在“同域区间”的“同域函数”的序号是__________．
2
答案精析
?1，729?
? 3.{x|x＞4} 1．③ 2.?4
?3???
4．8
解析 由题意得只需求当x∈[t－1，t＋1]，f(x)max－f(x)min≥8时a的最小值．根据f(x)＝ax＋20x＋14(a＞0)的对称性可知： 10
①当t＝－时，
2
af(x)max－f(x)min＝f(－＋1)－f(－)＝a，所以只需a≥8即可；
aa1010
②当－＜t＜－＋1时，
1010
aaf(x)max－f(x)min＝f(t＋1)－f(－)．当a≥8时，上式≥f(－＋1)－f(－)≥8成立；
aaa1010
③当t≥－＋1时，f(x)max－f(x)min＝f(t＋1)－f(t－1)＝4at＋40≥4a(－＋1)＋40＝
101010
aa4a，则4a≥8，即a≥2. 综上知a≥8，即a的最小值为8. 5．(1,2]
1a2x解析 由f(x)＝x＋ax－2在(0,1]上递增，则有－≤0，即a≥0，再由f(x)＝a－a在(1，
2411
＋∞)上递增，则a＞1，再由增函数的定义，得1＋a－2≤a－a，解得a≤2，则有1＜a≤2.
26．(－2，＋∞)
1?1?u??22
解析 函数y＝??－x－4x＋3是由函数y＝??，u＝－x－4x＋3复合而成的．而函数u＝
?2??2?
?1?u22
－x－4x＋3＝－(x＋2)＋7在(－2，＋∞)上是减函数，函数y＝??为R上的减函数．
?2?
所以函数的单调递增区间为(－2，＋∞)． 7．(－2,1) 解析 f(x)＝
??x＋4x＝?x＋2?－4，x≥0，?22
?4x－x＝－?x－2?＋4，x＜0，?
2
2
由f(x)的图象可知
3
f(x)在(－∞，＋∞)上是增函数，
由f(2－a)＞f(a)，得2－a＞a， 即a＋a－2＜0，解得－2＜a＜1. 1
8．[，1)
2
??e－k≤k，
解析 由题意得?
?1－k＞0，?
0
2
2
2
1
解得≤k＜1.
2
9．(－∞，－1]，[0,1] 解析 由题意知，
当x≥0时，y＝－x＋2x＋3 ＝－(x－1)＋4；
当x＜0时，y＝－x－2x＋3 ＝－(x＋1)＋4， 二次函数的图象如图．
2
2
2
2
由图象可知，函数y＝－x＋2|x|＋3在(－∞，－1]，[0,1]上是增函数． 10．0 22－3
解析 f[f(－3)]＝f(1)＝0.
2
①当x≥1时，f(x)＝x＋－3≥22－3，当且仅当x＝2时取等号；②当x＜1时，f(x)
2
x＝lg(x＋1)≥lg 1＝0. 综上，f(x)的最小值为22－3. 11．4
解析 当x≤0时，f(x)＝x－4x＋3，
对称轴为直线x＝2，故在区间内递减，f(x)≥f(0)＝3； 当x＞0时，f(x)＝－x－2x＋3，
对称轴为直线x＝－1，故在区间内递减，f(x)＜f(0)＝3.
2
2
2
4
可知函数f(x)在整个区间内递减． ∴当x∈[－2,2]时，
不等式f(x＋a)≥f(2a－x)恒成立， ∴x＋a≤2a－x，∴2x≤a，∴a≥4. 1
12．(0，] 4
解析 由对任意x1≠x2， 都有
f?x1?－f?x2?
＜0成立，
x1－x2
知f(x)是减函数．
0＜a＜1，??
于是?a－3＜0，
??a0≥?a－3?×0＋4a，1所以0＜a≤.
41
13．(，2)
2
解析 显然函数f(x)的定义域为R.又函数f(x)是奇函数，所以f(0)＝0，故c＝0，从而f(x)＝
bx. ax2＋1
2
＞，a＞0，得b＞0. a＋15
由f(1)＝由f(x)＝bb1
1
得，当ax＝，
ax＋
x即x＝±
x1b1b222时，原函数有最值，从而－＝－，即a＝b，于是2＞，化简得2ba2b＋152a－5b＋2＜0， 1
解得＜b＜2.
214．①②③
π2
解析 当x∈[0,1]时，cos x∈[0,1]，①正确；当x∈[－1,0]时，x－1∈[－1,0]，②
2正确；当x∈[0,1]时，|2－1|∈[0,1]，③正确；因为
xy＝log2(x－1)为单调递增函数，所以要为“同域区间”，需满足方程log2(x－1)＝x有两个
根，由图象可知y＝x与y＝log2(x－1)没有交点，④错误．
5