f1(1)?2?2?2?2. 1分
从而曲线f(x)在点(1,f(1))处的切线方程为
y?0?2(x?1),
即y?2x?2
p2px2?2x?p. 3分 （2）f?(x)?p?2??xxx2
令h(x)?px2?2x?p，要使f(x)在定义域（0，∞）内是增函数 只需h(x)?0在（0，+∞）内恒成立 4分
由题意p?0,h(x)?px2?2x?p的图象为开口向上的抛物线，对称轴方程为
x?1?(0,??)， p1, p
?h(x)min?p?
只需p?1?0,即p?1时， p
h(x)?0,f?(x)?0
?f(x)在（0，+∞）内为增函数，正实数p的取值范围是?1,??? 6分
2e在[1,e]上是减函数， x （3）?g(x)?
?x?e时， g(x)min?2;
x?1时,g(x)min?2e，
即g(x)?[2,2e] 1分
2①当p?0时，h(x)?px?2x?p
其图象为开口向下的抛物线，对称轴x?1在y轴的左侧， p
且h(0)?0，所以f(x)在x?[1,e]内是减函数。 当p?0时，在h(x)??2x 因为x?[1,e]， 所以h(x)?0,f?(x)??2x?0. x2此时，f(x)在x?[1,e]内是减函数。 故当p?0时，f(x)在x?[1,e]上单调递减
?f(x)max?f(1)?0?2，不合题意；
②当0?p?1时，由x?[1,e]?x?所以f(x)?p(x?)?2lnx?x?1?0 x1x1?2lnx. x又由（2）知当p?1时，f(x)在x?[1,e]上是增函数，
?x?111?2lnx?e??2lne?e??2?2，不合题意； 11分 xee③当p?1时，由（2）知f(x)在x?[1,e]上是增函数，
f(1)?0?2
又g(x)在x?[1,e]上是减函数， 故只需f(x)max?g(x)min,x?[1,e]
而f(x)max?f(e)?p(e?)?2lne,g(x)min?2 即P(e?)?2lne?2, 解得p?1e1e4e， e2?14e,??)。 13分 2e?1所以实数p的取值范围是(注：另有其它解法，请酌情给分。