即样本中应抽取A产品10件,B产品20件,C产品5件,D产品15件. …………3分
(II)从50件产品中任取2件共有C250?1225种方法, 2件恰为同一产品的方法数为C2?C2221020?C5?C15?350种,
所以2件恰好为不同型号的产品的概率为1?3501225?57.…………………… ……6分 （III）解X的可能取值为0，1，2，3，则
P?X?0??C31015C3? P?X?1??C10C251003? 15455C15455P?X?2??C2C12253105C3?，P?X?3??C10?120……………………………9分 15455C315455故X的分布列为 P 1 1 2 3 X 10455 100455 225120455 455 所以EX=0?10455+2?100225120455+2?455+3?455
=20291 ……………………………………13分
17．(I)证明：∵四边形ABCD为正方形， ∴AD?AB
∵BE?平面ABCD，EB∥FA ∴FA?平面ABCD ∵AD?平面ABCD ∴FA?AD
∵AB,FA?平面AFB，FB?FA?A ∴AD?平面AFB ∵AD?平面AFD
∴平面AFD?平面AFB ……………………………………5分 （II）以B为原点，建立如]图所示的空间直角坐标系，设EB?2， 则AF?AB?1，故
E?2,0,0?，D?0,1,1?，C?0,0,1?，F?1,1,0?，B?0,0,0?
6
∴直线ED的方向向量为ED???2,1,1?，直线CF的方向向量为CF??1,1,?1? 设直线ED与CF所成的角为?，则
cos??ED?CFED3 ……………………………………10分 CF?3（III）直线EC的方向向量为EC???2,0,1?，BC??0,01?，BF??1,1,0? 设平面BCF的法向量为n??x,y,z?，则
???BC?n?0，故?z?0?，?x?1???y??1，n??1,?1,0?BF?n?0?x?y?0? ??z?0设直线EC与平面BCF所成的角为?，则
sin??EC?n10ECn?5 ……………………………………14分
18．解：（I）当a?1时，f(x)??x2?2x?ex
f??x???2x?2?ex??x2?2x?ex??x2?2?ex
当x?0时，f?0??1，f??0???2
所以曲线y?f(x)在点?0,f(0)?处的切线方程y?1??2?x?0?，
即y??2x?1 ……………………………4分 （II）f(x)的定义域为R，则 ……………………………5分
xxxf??x???2x?2a?ea??x2?2ax?ea1?12?a???ax?2a??ea………………………7分
x（1）当a?0时，??1?ax2?2a???ea?0，x2?2a2?0，则
x??2a或x?2a
?x?1?ax2?2a??22?ea?0，x?2a?0，则 ?2a?x?2a
7
故f(x)的增区间为???,?2a??,2a,???，
减区间为??2a,2a? ………………………10分
x（2）当a?0时，??1?ax2?2a???ea?0，x2?2a2?0，则
2a?x??2a
?x?1?ax2?2a???ea?0，x2?2a2?0，则 x?2a或x??2a
故f(x)的增区间为?2a,?2a?，
减区间为???,2a??,?2a,??? ……………………………13分
19．解：（I）设P?x,y?，则Q?x,?1?， ∵QP?QF?FP?FQ
∴?0,y?1????x,2???x,y?1??x,?2? 即2?y?1??x2?2?y?1?，即x2?4y，
所以动点P的轨迹C的方程x2?4y． ……………………………5分
解：（II）设圆M的圆心坐标为M?a,b?，则a2?4b． ①
圆M的半径为MD?a2??b?2?2．
圆M的方程为?x?a?2??y?b?2?a2??b?2?2． 令y?0，则?x?a?2?b2?a2??b?2?2，
整理得，x2?2ax?4b?4?0． ②
由①、②解得，x?a?2．
不妨设A?a?2,0?，B?a?2,0?， …………………………9分 ∴l21??a?2??4，l2??a?2?2?4．
8
l1l2l12?l222a2?16∴?? ?4l2l1l1l2a?64 ?2?a2?8?16a2?21?4， ③ 4a?64a?642 当a?0时，由③得，
l1l21616??21?≤21??22．
64l2l12?8a2?2al1l2??2． l2l1当且仅当a??22时，等号成立．当a?0时，由③得，
故当a??22时，l1l2
?的最大值为22．………………14分 l2l1
20．（I）y＝· ＝(2x－b)＋(b＋1)＝2x＋1
y?2x?1与x轴的交点P1(a1,b1)为(0,1)，所以a1?0；
所以an?a1?(n?1)?1，即an?n?1， 因为Pn(an,bn)在y?2x?1上，所以bn?2an?1，
即bn?2n?1 ………………………3分
an(n?2k?1)*（II）设f(n)?{ （k?N），
bn(n?2k)即f(n)?{n?1(n?2k?1)* （k?N） ………………………5分 2n?1(n?2k)（1）当n?2k时，Sn?S2k?a1?b2?a3?b4?....?a2k?1?a2k?(a1?a3?...?a2k?1)?(b2?b4?...?b2k) =
n0?2k?23?4k?13?k??k=3k2，而k?，所以Sn?n2
2224 （2）当n?2k?1时，
Sn?S2k?1?(a1?a3?...?a2k?1)?(b2?b4?...?b2k?2)=
n?10?2k?23?4k?532n1?k??(k?1)=3k2?4k?1， 而k?，所以Sn?n??
222424 9
?3n2?n?1,n?2k因此S??424?1（k?N*n??）……………………9分
?3??4n2, ，n?2k（III）假设k?N?，使得f(k?m)?2f(m) ， （1）m为奇数
①k为奇数，则k?m为偶数。则f(m)?m?1，f(m?k)?2(m?k)?1。 则2(m?k)?1?2(m?1)，解得：k?12与k?N*矛盾。 ②k为偶数，则k?m为奇数。则f(m)?2m?1，f(m?k)?(m?k)?1。 则(m?k)?1?2(2m?1)，解得：k?3m?1（3m?1是正偶数）。 （2）m为偶数
①k为奇数，则k?m为奇数。则f(m)?m?1，f(m?k)?(m?k)?1。 则(m?k)?1?2(m?1)，解得：k?m?1（m?1是正奇数）。 ②k为偶数，则k?m为偶数。则f(m)?2m?1，f(m?k)?2(m?k)?1。 则2(m?k)?1?2(2m?1)，解得：k?m?12与k?N*矛盾。 由此得：对于给定常数m(m?N*,m?2)，这样的k总存在；当m是奇数时，
k?3m?1；当m是偶数时，k?m?1。 ……………………………13分
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