???x??yx??2bxy?c?2fxy?gx2?0?3d?f?y2??y??x??b?f??gx2?c?0?g???xy???x?fy2?2gxy?3dy2?0??x??x
根据广义胡克定律：
11?323???????ay?bxy?cx?d?y??e????y?xExE?11?332??y???y???x???dy?e?a?y?b?xy?c?x?EE??xy2?1???????fxy2?gx2y?h???xyGE??2?x6ay?6d?y?2??y6
?2?y??x22b?y??xy2?1??????2fy?2gx??E ?x?yE
2代入相容方程
6ay?6d?y?2b?y?4?1????fy?gx?
x?3a?3d??b??2?1???fy2?1???gy2? （2）
cg?3a?3d??b??2?1???f?????b?f??3d?f?21??????
22代入（1）得
?3a?3d??b??2?1???f?cgx2???221???????3a?3d??b??2?1???f?????b?f??3d?f?2?1?????
?3a?3d??b??2?1????2?1???其中?f????b?f??3d?f??
22.13 根据弹性力学平面问题的几何方程，证明应变分量满足下列方程，
?2?x?y2??2?y?x2??2?xy?x?y
并解释该方程的意义。
证明：弹性力学平面问题的几何方程为：
?x??u?x ① ，y????uy ②，
?xy???Vx???uy ③，
将方程①，②分别对y和x求二阶偏导并相加得：
?2?x2?2??y?x?2?x?3u?x?y2???3v?x?y2??3v?x2?y，
??2?u?x?y?y????vx?
?u等式右端项?yv???x??xy??y2??2?x?2?x?x2
该方程为相容方程中的第一式，其意义为弹性体内任一点都有确定的位移，且同一点不可能有连个不同的位移，应变分量叠。
432234?,?,?a??ax?axy?axy?axy?ay123452.14 假设Airy应力函数为，其中i为常数，求xyxy，
?2?x?y?xy?x,?y,?xy应满足相容方程，否则，变形后的微元体之间有可能出现开裂与重
并求这些变量间的约束关系。
解：由
?x?,?y?,?xy???2??y2?2??x2?2??x?y，对该应力函数求偏导得;
???x???y?4a1x3?3a2x2y?2a3xy2?a4y3
?a2x3?2a3x2y?3a4xy2?4a5y3
对以上两式的偏导可求得：
22????2??12ax?6axy?2ay2123?y?x?22?2????2ax?6axy?12ay?x?y2345??2y22?????3ax?4axy?3ay??? 334?x?y?xy?4??x4考虑相容性条件
?2?4??x2?y2??4??y4?0,将上式代入可得各常量间的关系如下：
6a1?6a5?a3?0
2.15 对给定的应力矩阵，求最大Tresca和Von.Mises应力。将Von Mises应力和Tresca应力 20 10 10
进行比较，δ= 10 20 10 Mpa。
10 10 20
δz τxy τxz
解：由Tresca准则：δ= δy τyz 故有δs=20Mpa，τmax=δs/2=10Mpa δz δ1=（δx+δy）/2=30Mpa δ2=10Mpa
由Von Mises准则：2δs2=6（τxy2+τyz2+τyz2）解得δs=30Mpa
30 -15 20 2.16 一点出的应力状态由应力矩阵给出，即δ= -15 -25 10 Mpa，若E=70Gpa，γ
20 10 40
=0.33，求单位体积的应变能。 解：单位体积应变能：
υ=1/2E{δx2+δy2+δz2-2u(δxδy+δyδz+δzδz)+2(1+u)(τxy2 +τxz2+τyz2)} u=（E-2γ）/2γ γ=0.33带入可得： υ=420.75J
3.11 如图3.11所示的平面三角形单元，厚度t=1cm，弹性模量E=2.0*105mpa，泊松比γ=0.3，试求插值函数矩阵N，应变矩阵B，应力矩阵S，单元刚度矩阵Ke。
解：此三角形单元可得： 2△=（10-2）*4=32，故有 a1=1/32*（8u1-5u2-16u3） a2=1/32*（4u1-4u2） a3=1/32*（-8u1+8u3）
a4=1/32*（56v1-8v2-16v3） a5=1/32*（-4v1+4v2） a6=1/32*（-8v1+8v3）
而b1=y2-y3=-4 b1=x2-x3=-8 b1=y3-y1=4 b1=x3-x1=0 b1=y1-y2=0 b1=x1-x2=8
b1 0 b2 0 b3 0 -4 0 4 0 0 [B]=1/2△* 0 c1 0 c2 0 c3 =1/32* 0 -8 0 0 8 c1 b1 c2 b2 c3 b3 -8 4 0 8 0
1 γ 0 1 0.3 0 [D]=[E/(1-γ2)]* γ 1 0 =[E/0.91]* 0.3 1 0 0 0 (1-γ)/2 0 0 0.35
1 0.3 0 -0.125 0 0.125 0 0 [S]=[D]*[B]={E/0.91}* 0.3 1 0 * 0 -0.25 0 0 0.25 0 0 0.35 -0.25 0.125 0 0.25 0 1.4 0 -1.4 -0.7 0 0.7 0 4 -0.6 -4 0 0
①T①
[K]=B*D*B*t*△={E/36.4}* -1.4 -0.6 2.4 1.3 0.6 0.7 -0.7 -4 1.3 -0.6 -1 0.35 0 0 0.6 -1 -0.6 0 0.7 0 0.7 -0.35 0 0
1 0 0 0.6 -1 -0.6 0 0.35 0.7 0 -0.7 -0.35 0 0.7 1.4 0 -1.4 -0.7 ②T②
[K]=B*D*B*t*△={E/36.4}* 0.6 0 0 4 -0.6 -4 1 -0.7 -1.4 -0.6 2.4 1.3 0.6 -0.35 -1.4 -4 1.3 3.5
3.12 求下图中所示的三角形的单元插值函数矩阵及应变矩阵，u1=2.0mm，v1=1.2mm，u2=2.4mm，v2=1.2mm，u3=2.1mm，v3=1.4mm，求单元内的应变和应力，求出主应力及方向。若在单元jm边作用有线性分布面载荷（x轴），求结点的的载荷分量。 解：如图2△=64/3，解得以下参数：
a1=19 a2=-2 a3=6； b1=-3 b2=4 b3=-1；c1=-1 c2=-3 c3=4； N1={64/3}*(19-3x-y) N2={64/3}*(-2-3x-3y) N3={64/3}*(6-x+4y)
故N= Ni 0 Nj 0 Nm 0 0 Ni 0 Nj 0 Nm 1 0 1 0 1 0 = 0 1 0 1 0 1
bi 0 bj 0 bm 0 [B]={1/2△}* 0 ci 0 cj 0 cm ci bi cj bj cm bm -3 0 4 0 -1 0 ={64/3}* 0 -1 0 -3 0 4 -1 -3 -3 4 4 -1 1 γ 0 [D]={E/(1-γ2)}* γ 1 0 0 0 (1-γ)/2
1 γ 0 -3 0 4 0 -1 0 单元应力矩阵[S]=[D]*[B]= {E/13(1-γ2)}* γ 1 0 * 0 -1 0 -3 0 4 0 0 (1-γ)/2 -1 -3 -3 4 4 -1 2 1.1 -3 -u 4 3u -1 4u 2.4 单元应力[δ]=[S]*[q]= {E/13(1-γ2)}* -3u -1 4u -3 -u 4 * 1.2 (u-1)/2 (3u-3)/2 (3u-3)/2 2-2u 2-2u (u-1)/2 2.4 1.4
3.13
解：二维单元在x,y坐标平面内平移到不同位置，单元刚度矩阵相同，在平面矩阵 180°时变化，单元作上述变化时，应力矩阵不变化。
3.14
（0,1） 解：令t?1，p?1，而E?2.0e?011，??1/3，
② ????1?0?D?E① 1??2??10???y ?1???x ?002??
（0,0） ?b10b20b30?N???0c10c20c?3???c1b1c2b2c3b3??
B?N2A
单元① ?2.250.750?D①②???0.752.250???000.75???
??0.500.5000?B①???0?10000???1?0.500.510????
?-1.125-0.751.125000.75?S①?1.0e+011*??-0.375-2.250.375002.25???-0.75-0.37500.3750.750??? S?DB
??1.31250.75-0.5625-0.375-0.75-0.375??0.752.4375-0.375-0.1875-0.375-2.25?ke①???-0.5625-0.3750.5625000.375???-0.375-0.187500.18750.3750?*1.0e011???-0.75-0.37500.3750.750???-0.375-2.250.375002.25??
单元②：
?00.50?0.50?B②??0?0?10100?
???1010.50?0.5???
（2,1） 2,0） （