单元a的刚度矩阵写成分块矩阵形式为：
A1?A3?fia??1???0.153?1?0.1517(1??)E85?E4(1??)(1?2?)322aiacz?bia?iaa?lrarafja?ajara?bja?cjazara?lfma?amacz?bma?maa?lrara?kiikijkim???其中子矩阵可写为： ka??kjikijkjm??kmikmjkmm?
??b(b?Af)?f(f?Ab)?AcA1ct?bs?fs???A2btcs?1tst1t2sct2?rA3?st?kst?
???A1cs?bt?ft??A2bsctcsct?A2bsct??
?s?ia,ja,ma;t?ia,ja,ma?
所以a的刚度矩阵为
?40?0?100?El?20ka??483?6?0???60070?7020672437731700?770357?10?24?6??7???10???17?7??24?对于b单元，由题可知
rib?4lzib?0
rjb?3lzjb?lrmb?3lzmb?0110rb?(rib?rjb?rmb)?l3311zb?(zib?zjb?zmb)?l33单元b的截面面积为
1rib1?b?1rjb21rmbzibzjbzmb14l011?13ll?l22213l0aib?rjbrmbzjbzmb?rjbzmb?rmbzjb??3l2bib??1zjb1zmb?zjb?zmb?lcib?1rjb1rmb??(rjb?rmb)?0ajb?rmbribzmbzib?rmbzib?ribzmb?0
bjb??1zmb1zibzibzjb?zmb?zib?02cjb?1rmb1rib??(rmb?rib)?lamb?ribrjb?ribzjb?rjbzib?4lbmb??1zib1zjb?zib?zjb??lcmb?A1?1rib1rjb??(rib?rjb)??l0.153?1?0.1517A2?1?2?1?2?0.157??2(1??)2?(1?0.15)17?1??? A3? fib?
(1??)E85?E4(1??)(1?2?)322aibcz1?bib?ibb?lrbrb10fjb?ajbrb?bjb?cjbzbrb?1l10fmb?ambcz1?bmb?mbb?lrbrb10单元b的刚度矩阵写成分块矩阵形式为：
其中子矩阵可写为：
?kiikij? kb??kjikij?kmikmj?kim??kjm?kmm??2?rA3kst???bs(bt?A1ft)?fs(ft?Ab1t)?A2csct??A1cs?bt?ft??A2bsct?A1ct?bs?fs??A2btcs???csct?A2bsct??s?ib,jb,mb;t?ib,jb,mb?
所以单元b的刚度矩阵为
47?17770?00700?717?El?47700kb??30483?3300??1683?700?713?0?730??330?1683?330?700?700?700??30?713?730??1700?270?1700??2702357970???24009702400?330
5.1 答：杆件受到纵向（平行于杆轴）载荷的作用，这样杆件的拉压问题；杆件受到横向（垂直于杆轴）载荷的作用，这是梁的弯曲问题。杆件受到力相似到薄板就有，薄板受到纵向载荷的作用，这是平面应力问题；薄板受到横向载荷的作用，这是薄板的弯曲问题。薄板的弯曲可以认为是梁弯曲的推广，是双向的弯曲问题，中面法线在变形后保持不伸缩，并且成为弹性曲面的法线，中面在变形后，其线段和面积的投影形状保持不变（小挠度薄板）。已知中面的挠度?，而纵向位移u、v，主要应力分量?x，?y，?xy。 某一点的位移：u??某一点的应力：
????z，v??z，???(x,y)。 ?x?yEz?2?Ez?2??2?Ez?2??2? ?x??(2??2),?y??(2??2),?xy??221???x?y1???x?y1???y?x?4??4??4?Eh3弹性曲面微分方程D(4?2……板的抗挠刚度。 ?4)?q,其中D??2?x?y?y?x12(1??)5.2 答：矩形薄板单元：薄板单元位移函数并不满足连续性或相容性要求，采用这种位移函数的单
元是非协调单元，这种四节点矩形弯曲单元变形后，其挠度面在单元间虽然互相连续，但其法向导数并不连续，单元间在变形后是不连续光滑（有棱）的，当单元逐渐取小的时候，还能够收敛于精确解。
三角形薄板单元：常使用面积坐标，分析表明，只以挠度 及其一阶导数 作为节点的位移函数用一般的形状函数是不可能构造满足相容性的薄板单元，需再加上二阶导数，就可以实现。在相邻单元之间，挠度是连续的，但法向的斜率是不连续的，这种位移模式是非协调单云，收敛不如矩形单元，单元足够小，节点增多，如六节点三角形，九节点三角形等。 5.3谈论在平面应力和弯曲状态组合的情况下，三角形刚度矩阵的特点 （1）平面内的作用力产生的变形不影响弯曲变形，反之亦然
（2）节点把转向 在两种应力状态下都不加入到变形中，相应的节点力也不存在，将平面应力状态和弯曲状态加以组合后，单元的每个节点的位移向量和节点力向量是?i?{ui,vi,wi,?xi,?yi,?zi}
TFib?{Fxi,Fyi,Fzi,Mxi,Myi,Mzi}T要指出的是，在局部坐标系中，节点位移不包括{?zi} ，但为
了下一步将局部坐标系的单元刚度阵换到总体坐标系下进行集成，由于平面应力状态下的节点力
{Fip}和平面应力状态下的节点位移{?ip} 互不影响，弯曲应力状态下的节点{Fib}与平面应力状态
下的节点位移{?ib}互不影响，所以组合应力状态下的平板、薄板单元的单元刚度矩阵如下：，
p?[Krs]??00Krs=?00??00?00?0000??0000?b[Krs]00?
?0000?0000??pb其中矩阵{Krs三角形单元的单元刚度}和{Krs}分别是平面应力问题和薄板弯曲问题的相应子矩阵，
矩阵是18×18矩阵。
6.1 结构的动态特性：结构的固有频率及其相应的模型，以及在随着时间而变形的外加激振力的激励下，机器或结构被激起的位移，应力或称被激起的动力响应，机械产品的动态性能是其重要的性能指标，尤其对现代复杂、高速、重载精密机械系统，动态性能是影响其工作性能及产品指标的关键技术指标，机械结构的动态特性问题早在上个世纪30年代就引起人们的重视，动态特性的发展为机械动态设计提供了坚实的基础。
6.2 结构离散后，在运动状态各节点的动力平衡为：Fi?Fd?P(t)?Fe其中Fi,Fd,P(t)分别以惯性力、阻尼力和动力载荷均为矢量，Fe为弹性力，弹性力矢量可用节点位移?和刚度矩阵k表示为：
Fe=k?式中刚度矩阵k的元素kij为节点j的单位位移在节点i引起的弹性力，根据达朗贝尔原理，
?2??2?可利用质量矩阵和节点加速度2表示惯性如下：Fi=?M式中质量矩阵Mij为节点j的单位
?t2?t加速度在节点i引起的惯性力，设结构阻尼（滞粘），可用阻尼矩阵C和节点速度
??，表示阻尼如?t...???????2??2?下：Fd=?C，将各式带入：M+C+k?=P(t)，记?=，?=2。则运动方程：
?t?t?t?t2?tM?+C?+k?=P(t)
T6.3单元的质量矩阵：[M]= [N]?[N]dv
...?质量矩阵是对称阵，各节点的质量互相耦合，即平动惯性和转动惯性之间耦合，如果把单元的一致质量集中的分配在它们的节点上，则此质量矩阵成为集中质量矩阵质量分配原则：按静力学平行力的分配法则，将单元的一致质量矩阵用集中于节点外的质量来代替，形函数计算所得的[M]称为一致质量矩阵。
6.5 结构阻尼（只与结构本身材料性质有关）
结构在自由振动过程中，如果没有能量的耗散，振动将永远保持由初始条件决定的振幅持续不停，但实际上，结构自由振动的振幅都会随时间而衰减，经过一定时间后，这是因为系统的能量因某些原因而消耗，这种能量的耗散作用称阻尼，由阻尼使振动衰减的系统称为阻尼系统。
在结构内部阻尼是非粘线的，但它近似于线性的，弹性材料，特别是金属材料表示一种结构阻尼的性质，这种阻尼是由于材料受力变形而产生的内摩擦力和变形之间产生了相位滞后。
产生能量耗散的原因有结构的内摩擦（或粘性）构件接口处的摩擦、周围介质（如空气、建筑物地基）的阻尼影响等，但有关阻尼的作用机理，目前尚未完全研究清楚。 1.推导横截面积为A的一维桁架架构单元刚度矩阵。
解：设杆件两端点位i，j，ξ，η为单元局部坐标，ξ表示单元任一截面的位置，则其发生的位移：u=a0+b1ξ，v=b0+b1ξ+b2ξ2+b3ξ3，即： u 1 0 0 ξ 0 0
= *（a0 b0 b1 a1 b2 b3）T v 1 0 ξ 0 ξ2 ξ2
[H] [α]
记{U}=[u,v]=[H]* [α]，
由i，j两端的位移分量可得：{ζ}=[G]*[ α],
1 0 0 0 0 0
0 1 0 0 0 0
其中[G]= 0 0 1 0 0 0 给上式左乘[G]-1,则有 1 0 0 L 0 0 0 1 L 0 L2 L3 0 0 1 0 2L 3L2 {u}=[H]* [G]-1*{ζ},令[N]= [H]* [G]-1 N1=[1-ξ/L 0 0 ξ/L 0 0],
N2=[0 1-3[ξ/L]2+2[ξ/L]3 ξ*（1-ξ/L）2 0 3[ξ/L]2+2[ξ/L]3 ξ*（ξ/L-1）*ξ/L]， dN1 d?d2N2 应用几何物理方程可得：[ε]= ξn = ?n *[ζ]=[B]* [ζ]
d? ζn 利用虚功原理推得：[K]e=E*?V[B]T*[B]dv=
EA/L
0 12EIZ/L3 对
0 6EIZ/L2 4EIZ/L 称 -EA/L 0 0 -EA/L
0 -12EIZ/L3 -6EIZ/L2 0 -12EIZ/L3
0 -6EIZ/L2 2EIZ/L 0 -6EIZ/L2 -EA/L
2.如图2为一个平面超静定桁架结构，在载荷P的作用下，求各个杆的轴力。此结构可以看成由14,24,34三个杆组成的，每个杆单元的两端为杆单元的结点，各结点的水平，铅直位移分别用u、v表示。
解：由题意可得：各杆件在局部坐标系下的单元刚度矩阵： 1 0 -1 0 0 0 0 0
[k]e=EA/L -1 0 1 0 e=(14, 24, 34) 0 0 0 0