2013年南平市普通高中毕业班质量检查
理科数学试题
本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题），第Ⅱ卷第21题为选考题，其他题为必考题．本试卷共5页．满分150分．考试时间120分钟． 参考公式：
如果A与B是两个任意事件，P(A)≠0，那么柱体体积公式：V?Sh， 其中S为底面面积，h为高；
P(BA)?P(AB)P(A)；
1V?Sh3， 锥体体积公式：
其中S为底面面积，h为高； 球的表面积、体积公式：
43V??RS?4?R2，3，
其中R为球的半径．
第Ⅰ卷（选择题 共50分）
一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．已知i是虚数单位，则i(1－i)＝ A．2－2i C．－2
B．2+2i D．2
2?1的否定是 2．命题“?x?R,sinx≤1”
?1 B．?x?R,sinx?1 A．?x?R,sinx≥1
?1 D．?x?R,sinx?1 C．?x?R,sinx≥1
3．如图所示的程序框图运行后输出的结果为
A．36 B．45 C．55 D．56 4．设等差数列
{an}的前n项和为
Sn，
a1??11，
a4?a6??6，
1
则当
Sn取最小值时，n等于
A．6 B．7 C．8 D．9
2 ≤ 0)?~N(0，a)，且P(?2≤?5．已知=0.4，则P(??2)?
A．0.1 B．0.2 C．0.3 D．0.4
6．若方程lnx?x?5?0在区间(a,b)(a,b?Z，且b?a?1)上有一实根，则a的值为 A．5 B．4 C．3 D．2
7．右图是某几何体的三视图，其中正视图是正方形，侧视图是 矩形，俯视图是半径为2的半圆，则该几何体的表面积等于 A．16＋12π B．24π C．16+4π D．12π
正视图侧视图x2y2?2?12(a?0,b?0)的离心率为2，过双ab8．已知双曲线Γ：
俯视图曲线Γ的左焦点F作圆O：x?y?a的两条切线，切点分别为
222A、B，则?AFB＝
A．45°
B．60°
C．90°
D．120°
9．已知△ABC的面积为12，P是△ABC所在平面上的一点，满足PA?PB?2PC?3AB， 则?ABP的面积为 A．3
C．6
B．4 D．9
aaaffx(x?)?e|e??|,(a?a?R,Rex xx10. 已知函数ex+eeR，e是自然对数底数)，在区间[0,1]上单调递增，
xx则a的取值范围是 A．[0，1] B．[－1，0] C．[－1，1]
22(??,?e]?[eD．e2e2,??)
第Ⅱ卷（非选择题 共100分）
二、填空题：本大题共5小题，每小题4分，共20分，把答案填在答题卡的相应位置．
?log2x,x?0,f(x)??x1))f(f(≤ ?3?1,x0,则4的值是 ． 11．已知函数
2my?mx的准线方程为 ． m2?112．若是2和8的等比中项，且，则抛物线
2
1?1?n(n?*?(aa???)(n?N)2a??a13．已知N的展开式中含a的项为第3项，则n的值为 ．
n?ππf(x)?3sin(?x?)x?6)(0???3)图象的一条对称轴方程为3， 14．已知函数
πx?[0，]2，则f(x)的取值范围是 ． 若
?≥ 0，?1?x?2x?2≤ y≤ 2?x??1?x?15．设不等式组所表示的平面区域是?，则平面区域?的面积等
于 ．
三、解答题：本大题共6小题，共80分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 16．（本小题满分13分）
如图，将边长为2，有一个锐角为60°的菱形ABCD，A 沿着较短的对角线BD对折，使得AC＝6，O为BD的中点.
（Ⅰ）求证：AO?平面BCD； （Ⅱ）求三棱锥A?BCD的体积；
B
（Ⅲ）求二面角A?BC?D的余弦值. 17．（本小题满分13分）
O C
D x3f(x)?sinx，g(x)?mx?6（m为实数）已知函数． ?π?π??P?，f????4?4y?f(x)????处的切线方程； （Ⅰ）求曲线在点
（Ⅱ）求函数g(x)的单调减区间；
x3f(x)?g(x)?6． （Ⅲ）若m?1，证明：当x?0时，
18．（本小题满分13分）
在?ABC中，角A,B,C所对的边分别为a,b,c，已知A=30?，a?3，b?33． （Ⅰ）求B和?ABC的面积；
（Ⅱ）当B是钝角时，证明：tan(B?118?)不可能是有理数．
3
19．（本小题满分13分）
如图所示，质点P在正方形ABCD的四个顶点上按逆时针方向前进，现在投掷一个质地均匀、每个面上标有一个数字的正方体玩具，它的六个面上所标数字分别为1、1、2、2、3、3．质点P从A点出发，规则如下：当正方体朝上一面出现的数字是1，质点P前进一步（如由A到B）；当正方体上朝上一面出现的数字是2，质点P前进两步（如由A到C）；当正方体朝上一面出现的数字是3，质点P前进三步（如由A到D）．在质点P转一圈之前连续投掷，若超过一圈，则投掷终止．
（Ⅰ）求点P恰好返回到点A的概率；
A
B
D C
（Ⅱ）在点P转一圈恰能返回到点A的所有结果中，用随机变量?表示点P恰能返回到点A的投掷次数，求?的数学期望． 20．（本小题满分14分）
x2y22??1(a?b?0)2b2已知椭圆Γ：a过点M（2，0），且离心率为2.
（Ⅰ）求椭圆Γ的方程； （Ⅱ）设点
P?x0，y0??y0?0?在椭圆Γ上，
x0x?y0y?12（ⅰ）证明：直线与椭圆相切；
（ⅱ）过点P作两条直线PA、PB分别交椭圆于点A、B，求证：“直线AB的斜率与过点P
的椭圆的切线斜率互为相反数”的充要条件是“直线PA的斜率与直线PB的斜率互为相反数”．
21．本题有（1）、（2）、（3）三个选答题，每小题7分，请考生任选2个小题作答，满分14分．如果多做，则按所做的前两题记分．作答时，先用2B铅笔在答题卡上把所选题目对应的题号涂黑，并将所选题号填入括号中．
（1）（本小题满分7分）选修4－2：矩阵与变换
?1?e1???1已知二阶矩阵M有特征值??4及对应的一个特征向量ξ??，并且矩阵M对应的变换
将点（－1，1）变换成（－2，4）．
4
（Ⅰ）求矩阵M；
（Ⅱ）求直线l:x?y?1?0在矩阵M的作用下的直线l?的方程．
（2）（本小题满分7分）选修4－4：坐标系与参数方程
?x?tant，π?t?nπ?，n?y?1?ktantxOy2在直角坐标系中，直线l的参数方程为?（t为参数，Z），
以O为原点，Ox轴为极轴，单位长度不变，建立极坐标系，曲线C的极坐标方程为
???cos2??4cos?.
（Ⅰ）求直线l的普通方程和曲线C的直角坐标方程； （Ⅱ）若直线l和曲线C相切，求实数k的值．
（3）（本小题满分7分）选修4－5：不等式选讲
149a2?b2?c2?1?m?0，2?2?2?1?2m?0.abc已知a，b，c为非零实数，且 14936??2b2c2≥a2?b2?c2； （Ⅰ）求证：a（Ⅱ）求实数m的取值范围．
2013年南平市普通高中毕业班质量检查 理科数学试题参考答案及评分标准 说明：
1、本解答给出了一种或几种解法供参考，如果考生的解法与本解答不同，可根据试题的主要考查内容比照评分标准制定相应的评分细则.
2、对计算题，当考生的解答在某一步出现错误时，如果后继部分的解答未改变该题的内容和难度，可视影响的程度决定后继部分的给分，但不得超过该部分正确解答应给分数的一半；如果后继部分的解答有较严重的错误，就不再给分. 3、只给整数分数. 选择题和填空题不给中间分.
一、选择题：本题考查基础知识和基本运算，每小题5分，满分50分．
1．D ； 2．D； 3．B； 4．A； 5．A； 6．C； 7．A； 8．B； 9．C； 10．C．
5