x?xf(x)?e?ae[0,1]a??110.解析：在区间上，当时，，而又当a?1时，
f?(x)?ex?ae?x?0在区间[0,1]上恒成立，所以?1?a?1；当a??1时，f(x)在区间
[0,1]上不可能单调递增，故选C.
二、填空题：本题考查基础知识和基本运算，每小题4分，满分20分．
310[?,3]2 15. 4 11. 9 12. x?1 13. 10 14.
三、解答题：本大题共6小题，共80分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 16．解：（Ⅰ）连接OC，由已知得?ABD和?CBD是等边三角形，O为BD的中点， ?AO?BD,CO?BD,又边长为2，?AO?CO?由于AC?3………2分
6，在?AOC中，?AO2?CO2?AC2
??AOC?90?，即AO?OC?BD?OC?O，?AO?平面BCD………5分
?S?BCD?31?22?3?VA?BCD??3?3?143, ………8分
A（Ⅱ）
,连结AE， （Ⅲ）解法一：过O作OE?BC于E，连接
?AO?平面BCD，
?AE在平面BCD上的射影为OE ?AE?BC
??AEO为二面角A?BC?D的平面角……10分
OBECD在RT?AEO中，AO?3，OE??tan?AEO?
3，2
AO?2OE?co?sAEO?
55………12分
5 即二面角A?BC?D的余弦值为5.………13分
解法二：以O为原点，如图建立空间直角坐标系，则
O(0,0,0),B(1,0,0),D(?1,0,0),C(0,3,0),A(0,0,3)
6
显然，平面BCD的法向量为
zn1?(0,0,1) ………10分
A设：平面ABC的法向量
n2?(x,y,z)，
D?O??n2?AB?0?x?3z?xB由??n2?BC?0?0,??x?3y?0，
?n2?(3,1,1)
cosn151,n2?5?5………12分
5∴二面角A?BC?D的余弦值为5.………13分
k?f?(??217．解：（Ⅰ）由题意得所求切线的斜率4)?cos4?2………2分 P(?,2),y?2切点
42则切线方程为2?22(x??4) ， x?2y?1???0即
4………4分
1（Ⅱ）g?(x)?m?2x2
（1）当m≤0时，g?(x)≤0，则g(x)的单调减区间是(??,??)；………6分 （2）当m?0时，令g?(x)?0，解得x??2m或x?2m，
则g(x)的单调减区间是(??,?2m)，(2m,??).………9分
（Ⅲ）证明：令h(x)?x?sinx,x?[0,??)，h?(x)?1?cosx≥0………11分
则h(x)是[0,??)上的增函数
故当x?0时，h(x)?h(0)?0f(x)?g(x)?x3即sinx?x，
6………13分
7
yC 8
33sin30?3absinB???32 ………2分 18．解：（Ⅰ）由正弦定理得sinAsinB，即
因为B是三角形内角且B?A，则B?60?或B?120?. ………4分 记?ABC的面积为S.
当B?60?时，C?90?，
S?1193ab??3?33?222 ………6分
11193absin30???3?33??2224 ………8分
当B?120?时，C?30?，
S?（Ⅱ）证明：因为B是钝角，结合（Ⅰ）的结论得tan(B?118?)=tan2?………9分
2tan2?2假设tan2?是有理数，则tan4??1?tan2?为有理数；
同理可证tan8?,tan16?,tan32?为有理数．………11分
tan30??3tan32??tan2?1?tan32?tan2?，等式左边=3为无理数，等式右边为有理数，从而矛盾，则
tan2?不可能是有理数，即tan(B?118?)不可能是有理数．………13分
19．解：（Ⅰ）事件“点P转一圈恰能返回到点A”记为M；事件“投掷两次点P就恰能返回到点A”记为B；事件“投掷三次点P就恰能返回到点A”记为D；事件“投掷四次点P就恰能返回到点A”记为E。投掷一次正方体玩具，朝上一面每个数字的出现都是等可能的，其
概率为
P1?21?63，因为只投掷一次不可能返回到点A；若投掷两次点P就恰能返回到点
A，则朝上一面出现的两个数字应依次为：（1,3），（3,1），（2,2）三种结果，其概率为
1?1?P(B)????3?3；………3分 ?3?若投掷三次点P恰能返回到点A，则朝上一面出现的三个数字应依次为：
2 9
1?1?P(D)????3?9；………5分 ?3?（1,1,2），（1,2,1），（2,1,1）三种结果，其概率为
若投掷四次点P恰能返回到点A，则朝上一面出现的四个数字应依次为：
31?1?P(E)????81；………6分 ?3?（1,1,1,1），其概率为
所以点P恰好返回到点A的概率为
4P(M)?P(B)?P(D)?P(E)?11137???398181.………7分
（Ⅱ）随机变量?的可能取值为2，3，4. ………8分
1P(BM)P(B)27P(??2)?P(B|M)???3?P(M)P(M)373781； 1P(DM)P(D)9P(??3)?P(D|M)???9?P(M)P(M)373781； 1P(EM)P(E)811P(??4)?P(E|M)????P(M)P(M)373781………11分
即?的分布列为
? P E??2?所以
2 3 4 2737 937 137 27918585?3??4??37373737. 即?的数学期望是37.………13分
a2?b22a?2,?a2………2分 20．（Ⅰ）解：由题意得
2 10