2012高教社杯全国大学生数学建模竞赛
承 诺 书
我们仔细阅读了中国大学生数学建模竞赛的竞赛规则.
我们完全明白，在竞赛开始后参赛队员不能以任何方式（包括电话、电子邮件、网上咨询等）与队外的任何人（包括指导教师）研究、讨论与赛题有关的问题。
我们知道，抄袭别人的成果是违反竞赛规则的, 如果引用别人的成果或其他公开的资料（包括网上查到的资料），必须按照规定的参考文献的表述方式在正文引用处和参考文献中明确列出。
我们郑重承诺，严格遵守竞赛规则，以保证竞赛的公正、公平性。如有违反竞赛规则的行为，我们将受到严肃处理。
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日期： 2012 年 9 月 10 日
赛区评阅编号（由赛区组委会评阅前进行编号）：
2012高教社杯全国大学生数学建模竞赛
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太阳能小屋的设计
摘要
光伏发电以电能作为最终输出形式，具有传输极其方便的特点，在通用性、可储存性等方面具有很大的优势。但在实际应用中，光伏发电还存在很多问题：光伏发电成本高、光电转化效率低等多种因素阻碍了光伏发电的推广。
本文通过分析太阳能电池板的工作效率及最佳倾斜角度，以最高实际输出功率与组件功率的比值大于且最靠近于1为标准，选取介于1-1.2的数据代入选择最优电池及逆变器模型，选取合适的电池和逆变器。利用最优化方法建立数学模型，为题中所给的太阳能小屋设计出发电总量最大、经济效益最高和回收年限最短的铺设方案，并根据小屋建筑要求设计小屋。
针对问题一，首先利用数值积分方法及小屋南向屋顶一年的总辐射强度的计算模型计算出各面墙壁及屋顶的年总辐射强度（超过阀值的有效），确定出有铺设价值的为南向屋顶。利用最优化方法确定铺设方案：B2号太阳能电池铺设南向屋顶。通过计算得到如下结论：选取24块B2电池和1台SN17逆变器，采用12块电池板串联为一组，两组电池板并联的连接方式，所需成本为13.975万元，单位发电量的费用约为0.30元/ kWh，第一年的发电总量约为14713 .33kWh，35年的发电总量为463470kWh，折合人民币23.1735万元，创造的经济效益为9.1985万元，投资的回收年限相当于19.997年。
针对问题二，从问题一中计算南向屋顶总辐射强度的公式中可以看出：太阳能电池板的发电量主要由总辐射强度决定，总辐射强度主要由屋顶倾斜角决定，通过最佳倾角模型计算得最佳倾斜角度为??35.6463?，并重新计算南向屋顶的总辐射强度。选择B2电池进行铺设。通过对投影面积的计算，留出天窗的采光面积不铺设。通过计算可得如下结论：按照架空铺设方式选取39块B2电池和1台SN17逆变器，采用13块电池板串联为一组，三组电池板并联的连接方式，所需成本为19.975万元，单位发电量的费用约为0.28元/ kWh，第一年的发电总量约为22927.93kWh，35年的发电总量为722230kWh，折合人民币36.1115万元，创造的经济效益为16.136万元，投资的回收年限相当于18.249年。
针对问题三，利用在问题二中已经找到的屋顶最佳倾斜角度，在满足小屋设计要求的前提之下，尽可能扩大屋顶面积，在屋顶放置尽可能多的电池板。由建筑屋顶最高距地面高度的限制，利用最优化方法确定出需要通过贴附和架空两种方式对电池板进行铺设，设计的小屋最高点距地面高度为5.4m，最低净空高度距地2.8m，总投影面积为
270.884m，长边为14.865m,最短边为4.769m,窗地比为0.437，西边窗比为0.325，南边窗比为0.490，北边窗比为0.216均满足小屋的建筑要求。选择B2电池进行铺设，使用线性约束法建立的规划可确定屋顶最大面积，经过分析计算确定最多可铺设45块B2太阳能电池板。通过计算可得如下结论：按照架空铺设方式选取45块B2电池和1台SN17逆变器，采用15块电池板串联为一组，三组电池板并联的连接方式，所需成本为22.375万元，单位发电量的费用约为0.27元/ kWh，第一年的发电总量约为26455.24kWh，35年的发电总量为833340kWh，折合人民币41.667万元，创造的经济效益为19.292万元，投资的回收年限相当于17.684年。
此外我们还对论文中涉及的模型进行了优缺点分析，为模型的改进提供了方向。 关键字：最优化方法 线性约束 最佳倾角
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问题重述
在设计太阳能小屋时，需在建筑物外表面（屋顶及外墙）铺设光伏电池，光伏电池组件所产生的直流电需要经过逆变器转换成220V交流电才能供家庭使用，并将剩余电量输入电网。不同种类的光伏电池每峰瓦的价格差别很大，且每峰瓦的实际发电效率或发电量还受诸多因素的影响，如太阳辐射强度、光线入射角、环境、建筑物所处的地理纬度、地区的气候与气象条件、安装部位及方式（贴附或架空）等。因此，在太阳能小屋的设计中，研究光伏电池在小屋外表面的优化铺设是很重要的问题。
请参考附件提供的数据，针对下列三个问题，分别给出小屋外表面光伏电池的铺设方案并给出示意图，使小屋的全年太阳能光伏发电总量尽可能大，而单位发电量的费用尽可能小，并计算出小屋光伏电池35年寿命期内的发电总量、经济效益（当前民用电价按0.5元/kWh计算）及投资的回收年限。
问题1：请根据山西省大同市的气象数据，仅考虑贴附安装方式，选定光伏电池
组件，对小屋（见附件2）的部分外表面进行铺设，并根据电池组件分组数量和容量，选配相应的逆变器的容量和数量。
问题2：电池板的朝向与倾角均会影响到光伏电池的工作效率，请选择架空方式
安装光伏电池，重新考虑问题1。
问题3：根据附件7给出的小屋建筑要求，请为大同市重新设计一个小屋，要求
画出小屋的外形图，并对所设计小屋的外表面优化铺设光伏电池，给出铺设及分组连接方式，选配逆变器，计算相应结果。
模型假设
1、直接使用光伏电池产生的直流电经过转换后的交流电的总量计算发电总量和经济效益。
2、忽略太阳能电池板表面材料对电池板吸收光能的影响。
3、根据山西大同的气候状况，假设逆变器全年都处于能正常使用的环境中。 4、假设太阳能电池一直在环境温度为25℃，AM1.5的标准条件下工作。 5、小屋的建筑方向为正北正南。
6、对于A类单晶硅电池而言，辐照强度低于200w/m2时，该类电池的转化效率将被忽略。
7、对于西面个别辐射强度异常的数据，通过对相邻数据求平均值对数据进行修正。
8、在小屋的部分外表面所铺设太阳能电池板均不会对房屋的门窗产生遮挡，即不影响小屋的采光。
9、通过总费用来反映出单位发电量的费用。
10、在铺设南顶面时，图上给出的天窗左、右边宽度分别为1383mm、1360mm，我
们近似看成宽为1383mm的规则长方形。
11、电线及支架费用、安装和日常维护的人工费忽略。
符号说明
F:铺设光伏电池组件所需费用
35年交流电总量
Q:民用电价(0.5元/kWh) P:经济效益
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M:经转换后的
太阳高度角 ?：向南面屋顶倾斜角 ?：时角 ?：光线与水平面法线夹角 ?：?：太阳光线与屋顶法线夹角 ?：南墙法线与光线夹角
DZ:屋顶总辐射强度 SS:水平面散射辐射强度 NS:南向散射辐射强度
FZ:法向直射辐射强度 ??Ti?i?1,2,3?:某一单位向量的表示
问题分析
模型需要分析光伏电池的经济效益，我们将铺设光伏电池组件所需费用?F?作为成本，经转换后的35年交流电总量?M?与民用电价?Q?的乘积作为收益。则经济效益?P?为：
P?M?Q?F -------------- (1)
问题一：
针对问题一，利用贴附安装的方式对小屋的部分外表面铺设光伏电池组件。首先，利用题中所给附录4中大同典型气象年气象数据及附录3中各种光伏电池组件设计参数确定小屋各面可选用的光伏电池类型及型号；其次，根据小屋外表面的结构设计最优的光伏电池的排列和连接方案及选择恰当的逆变器；最后，计算各种方案的年发电量及经济效益，对比选出较优方案。需要注意的是，在同一表面选择同一种电池更有利于提高经济效益。 问题二：
问题二要求将问题一中的贴附安装方式改进为架空安装方式。根据问题一的分析，我们可以看出：位于屋顶的太阳能电池板发电量最高。屋顶的倾斜度将对太阳能电池板的实际辐射强度有直接的影响。因此，针对问题二，我们主要通过架空安装的方式改变太阳能电池板与太阳光线的夹角，从而达到提高发电量的目的，并通过最优化的方法找到最优角度。 问题三：
问题三要求我们根据附件7的要求设计小屋，并为之铺设光伏电池。在问题二中我们已经得到安装太阳能电池板的最佳角度及最佳电池型号，因此在设计小屋时需要注意：首先，应使屋顶的倾斜角为问题二中所得到的最优角度；其次，屋顶的尺寸要尽量和所选电池的尺寸成比例；最后，需要尽量扩大屋顶的面积。
模型的建立与求解
问题一：
1、电池的选取原则
选择最优电池及逆变器模型：
对于电池及逆变器的选择通常有两种方式：1.先选择合适的电池，然后根据电池选择逆变器；2.先选择合适的逆变器，再根据逆变器选择合适的电池搭配方案。我们采用第一种方式。
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