有理数及其运算技巧
经验谈：有理数运算是中学数学中一切运算的基础，准确的理解有理数相关的概念，以及它的运算法则、公式，并且善于根据所给题目要求，将推理与计算相结合，灵活巧妙的选择简捷的算法，可以很好的提高思维的敏捷性。将现实中的问题与学习中的知识相结合，并合理的解决它，你会发现数学的很多乐趣。 内容综述：
当我们认识了零、负整数和负分数后，就引出了有理数的概念。整数（正整数、零、负整数）和分数（正分数、负分数）统称有理数，任何一个有理数都可以表示为
一个既约分数。并且，有理数可以比较大小，有理数
的和、差、积、商（分母不为零）仍为有理数，任意两个有理数之间都有无穷个有理数，有理数运算是中学数学中一切运算的基础，它要求同学们在理解有理数的有关概念、法则的基础上，能根据法则，公式等正确、迅速地进行运算，同时还要善于根据题目条件，将推理与计算相结合，灵活巧妙地选择合理的简捷的算法解决问题，从而提高运算能力，发展思维的敏捷性与灵活性。
要点讲解： §1、数轴与大小：
两个有理数的大小由它们在数轴上对应点的位置关系来确定：对应点在右边的数总比对应点在左边的数大。
★★例1观察图1中的数轴
用字母a,b,c依次表示点A，B，C对应的数，试确定小关系。
这三个数的大
思路：由B点在A点右边，知b-a>0，而A，B都在原点左边，故ab>0，又c>0，这说明要比较的大小，只需比较分母ab,b-a,c的大小。 解：因为C点在1的右边，所以c>1， 因为A点在-1与即
之间，B点在
与0之间，所以AB的距离大于
而小于1，
由同样的理由有
，
所以
。
又ab>0,故 从而有 0
.
★★例2：设a,b是两个有理数，且a
证明2 ∵∴
即
∴∴
又
即
故
，
说明：由本例可知，任意两个不相等的有理数a,b 之间存在一个有理数由此可推知，任意两个有理数之间存在无限多个有理数。 §2、符号与括号
有理数运算是代数入门的重点，又是难点，怎样突破这一难点，除了要正确理解概念和掌握运算法则外，还必须熟练有理数运算的一些技巧和方法，由于负数的引入，符号“+”与“-”具有了双重涵义，它既是表示加法与减法的运算符号，也是表示正数与负数的性质符号，因此进行有理数运算时，一定要正确运用有理数的运算法则和运算律，去掉或者添上括号，以此来改变运算的次序，从而使复杂问题变得较简单，在此应特别注意去添括号时符号的变化。 ★★★例3计算
思路：不难看出这个算式的规律是任何相邻两项之和或为1或为-1，如果按照将第一与第二项，第三与第四项，......，分别配对的方式计算，就能得到一系列的-1。
解：
下面需对n的奇偶性进行讨论： 当n为偶数时，上式是 即
；
个（-1）的和，
当n为奇数时，上式是有
个（-1）的和，再加上最后一项，所以
说明：两种情况可以合并为：
★★★★例4计算
解法1 原式
解
法2 原式
说明：以上两例说明妙添括号，有利于快速解题。 §3、算对与算巧
求的和，从左到右逐次相加似乎很安稳的事，其实这样算下来不仅工作量很大，而且运算的次数太多，出错的可能性也大，聪明的高斯没有这样做，他把这个算式头尾倒过来写成
然后将两个式子的对应项相加
得到100个101，101乘100再除以2便得到所求的和。这样不但算得对，而且算得快，这是一个脍炙人口的故事，它告诉我们数学运算不仅要算对更要算巧。 ★★★★例5计算
（1）；
（2）；
（3）
解： （1）应用关系式 来进行“拆项”。
原式
（2）∵
…
，
∴ 原式=
或者用下面的“错位相减法”求和。 令
将这两式错位相减得
，则
即
再将这两式错位后式减去前式得
∴；
（3）考察第n项n（n+1）如何分析，仔细观察后会发现：
∴ 原式=
说明：分析和错位相减是有理数运算中常和的技巧，在解题中应注意总结归纳规律，力求灵活应用。 ★★★★★例6计算 （1） （2）
；
，
思路与解：（1）直接计算较繁，仔细观察分母中涉及到三个连续整数：12345，12346，12347，可设字母n=12346，那么12345=n-1，12347=n+1，于是分母变为
，即原式分母的值是1，所以原式=24690。
（2）四个括号中均包含一个共同部分：以简化计算。 设
，则
，我们用一个字母表示
原式=
说明：通过以上例题可以看到，用字母表示数或表示一个式子，常常可使计算简化。