2010年中考数学压轴题（一）及解答
1、（2010年北京市）24. 在平面直角坐标系xOy中，抛物线y= ?
m?14x2?
5m4x?m2?3m?2
y 与x轴的交点分别为原点O和点A，点B(2，n)在这条抛物线上。 (1) 求点B的坐标；
(2) 点P在线段OA上，从O点出发向点运动，过P点作x轴的 垂线，与直线OB交于点E。延长PE到点D。使得ED=PE。 以PD为斜边在PD右侧作等腰直角三角形PCD(当P点运动 时，C点、D点也随之运动)
? 当等腰直角三角形PCD的顶点C落在此抛物线上时，求
1 x OP的长；
? 若P点从O点出发向A点作匀速运动，速度为每秒1个单位，同时线段OA上另一 点Q从A点出发向O点作匀速运动，速度为每秒2个单位(当Q点到达O点时停止 运动，P点也同时停止运动)。过Q点作x轴的垂线，与直线AB交于点F。延长QF 到点M，使得FM=QF，以QM为斜边，在QM的左侧作等腰直角三角形QMN(当Q 点运动时，M点，N点也随之运动)。若P点运动到t秒时，两个等腰直角三角形分 别有一条直角边恰好落在同一条直线上，求此刻t的值。 【解答】
24. 解：(1) ∵拋物线y= ?
m?14O 1 x2?
5m4x?m2?3m?2经过原点，∴m2?3m?2=0，解得m1=1，m2=2，
14 由题意知m?1，∴m=2，∴拋物线的解析式为y= ? y= ?
14x2?
52x，∵点B(2，n)在拋物线
x2?
52x上，∴n=4，∴B点的坐标为(2，4)。
y D C A x 图1 (2) ? 设直线OB的解析式为y=k1x，求得直线OB的解析式为 y=2x，∵A点是拋物线与x轴的一个交点，可求得A点的 坐标为(10，0)，设P点的坐标为(a，0)，则E点的坐标为 (a，2a)，根据题意作等腰直角三角形PCD，如图1。可求 得点C的坐标为(3a，2a)，由C点在拋物线上，得 2a= ?
14B O E ?(3a)2?
5 (舍去)，∴OP=
2229?3a，即。
94a2?
112a=0，解得a1=
229P ，a2=0
? 依题意作等腰直角三角形QMN，设直线AB的解析式为y=k2x?b，由点A(10，0)， 点B(2，4)，求得直线AB的解析式为y= ?
12x?5，当P点运动到t秒时，两个等腰
直角三角形分别有一条边恰好落在同一条直线上，有以下三种情况：
第一种情况：CD与NQ在同一条直线上。如图2所示。可证△DPQ为等腰直角三 角形。此时OP、DP、AQ的长可依次表示为t、4t、2t个单位。∴PQ=DP=4t， ∴t?4t?2t=10，∴t=
107。
第二种情况：PC与MN在同一条直线上。如图3所示。可证△PQM为等腰直角三 角形。此时OP、AQ的长可依次表示为t、2t个单位。∴OQ=10?2t，∵F点在 直线AB上，∴FQ=t，∴MQ=2t，∴PQ=MQ=CQ=2t，∴t?2t?2t=10，∴t=2。
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第三种情况：点P、Q重合时，PD、QM在同一条直线上，如图4所示。此时OP、 AQ的长可依次表示为t、2t个单位。∴t?2t=10，∴t= t值分别为
y D E B C M F A x N Q 103。综上，符合题意的
D 107，2，
103。
y D B (E) y M E M (C) N F Q N A x O Q(P) B F C x 图2 图3 图4
2、（2010年北京市）
25. 问题：已知△ABC中，?BAC=2?ACB，点D是△ABC内的一点，且AD=CD，BD=BA。 探究?DBC与?ABC度数的比值。
请你完成下列探究过程：
先将图形特殊化，得出猜想，再对一般情况进行分析并加以证明。 (1) 当?BAC=90?时，依问题中的条件补全右图。 观察图形，AB与AC的数量关系为 ；
当推出?DAC=15?时，可进一步推出?DBC的度数为 ； 可得到?DBC与?ABC度数的比值为 ；
(2) 当?BAC?90?时，请你画出图形，研究?DBC与?ABC度数的比值 是否与(1)中的结论相同，写出你的猜想并加以证明。 【解答】
25. 解：(1) 相等；15?；1：3。
(2) 猜想：?DBC与?ABC度数的比值与(1)中结论相同。 证明：如图2，作?KCA=?BAC，过B点作BK//AC交CK于点K， 连结DK。∵?BAC?90?，∴四边形ABKC是等腰梯形， ∴CK=AB，∵DC=DA，∴?DCA=?DAC，∵?KCA=?BAC， ∴?KCD=?3，∴△KCD?△BAD，∴?2=?4，KD=BD， ∴KD=BD=BA=KC。∵BK//AC，∴?ACB=?6，
∵?KCA=2?ACB，∴?5=?ACB，∴?5=?6，∴KC=KB， ∴KD=BD=KB，∴?KBD=60?，∵?ACB=?6=60???1， ∴?BAC=2?ACB=120??2?1，
∵?1?(60???1)?(120??2?1)??2=180?，∴?2=2?1， ∴?DBC与?AB C度数的比值为1：3。
3、（2010年安徽省芜湖市）23．（本小题满分12分） 如图，BD是⊙O的直径，OA⊥OB，M是劣弧⌒AB上一点，过点M点作⊙O的切线MP交OA的延长线于P点，MD与OA交于N点．
（1）求证：PM＝PN；
3
（2）若BD＝4，PA＝ AO，过点B作BC∥MP交⊙O于
2C点，求BC的长．
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5 O P O P B
C A
B
D C 图1
A
K 4 6 B 1 2 D 图2
C 3 A
【解答】 解：
4、（2010年安徽省芜湖市）24．（本小题满分14分）如图，在平面直角坐标系中放置一矩形ABCO，其
顶点为A（0，1）、B（－33，1）、C（－33，0）、O（0，0）．将此矩形沿着过E（－3，1）、
F（－
43，0）的直线EF向右下方翻折，B、C的对应点分别为B′、C′． 3
（1）求折痕所在直线EF的解析式；
（2）一抛物线经过B、E、B′三点，求此二次函数解析式；
（3）能否在直线EF上求一点P，使得△PBC周长最小？如能，求出点P的坐标；若不能，说明理由．
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【解答】
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5、（2010年安徽省） 22.春节期间某水库养殖场为适应市场需求，连续用20天时间，采用每天降低水位以减少捕捞成本的办法，对水库中某种鲜鱼进行捕捞、销售。
九（1）班数学建模兴趣小组根据调查，整理出第x天（1?x?20且x为整数）的捕捞与销售的相关信息如下：
⑴在此期间该养殖场每天的捕捞量与前一末的捕捞量相比是如何变化的？ ⑵假定该养殖场每天捕捞和销售的鲜鱼没有损失，且能在当天全部售出，求第x天的收入y（元）与x（天）之间的函数关系式？（当天收入＝日销售额—日捕捞成本）
试说明⑵中的函数y随x的变化情况，并指出在第几天y取得最大值，最大值是多少？ 【解答】
6、（2010年安徽省）23.如图，已知△ABC∽△A1B1C1，相似比为k（k?1），且△ABC的三边长分别为a、b、c（a?b?c），△A1B1C1的三边长分别为a1、b1、c1。 ⑴若c?a1，求证：a?kc；
⑵若c?a1，试给出符合条件的一对△ABC和△A1B1C1，使得a、b、c和a1、b1、c1进都是正整数，并加以说明；
⑶若b?a1，c?b1，是否存在△ABC和△A1B1C1使得k?2？请说明理由。
【解答】
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