2011年全国各地中考试题压轴题精选讲座三
函数及图像与几何问题
【知识纵横】
函数（本节主要指一次函数、反比例函数）及图像与几何问题，是以函数为背景探求几
何性质，这类题很重要点是利用函数的性质，解决几个主要点的坐标问题，使几何知识和函数知识有机而自然结合起来，这样，才能突破难点。但在解这类题目时，要注意方程的解与坐标关系，及坐标值与线段长度关系。
【典型例题】
【例1】（山东济宁）如图，第一象限内半径为2的⊙C与y轴相切于点A，作直径AD，过点D作⊙C的切线l交x轴于点B，P为直线l上一动点，已知直线PA的解析式为：y=kx+3。
(1) 设点P的纵坐标为p，写出p随k变化的函数关系式。
(2)设⊙C与PA交于点M，与AB交于点N，则不论动点P处于直线l上（除点B以外）的什么位置时，
都有△AMN∽△ABP。请你对于点P处于图中位置时的两三角形相似给予证明； (3)是否存在使△AMN的面积等于请说明理由。
【思路点拨】（1）将P的坐标代入y=kx+3即可。（2）要证△AMN∽△ABP，只要证∠ABD∠AMN即可。（3）根据（2）的结论，由相似三角形△AMN和△ABP的面积比，分点P在B点上下方两种情况求解。
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3225的k值？若存在，请求出符合的k值；若不存在，
【例2】（湖南怀化）在矩形AOBC中，OB=6，OA=4，分別以OB，OA所在直线为x轴和y轴，建立如图所示的平面直角坐标系．F是BC上的一个动点（不与B、C重合），过F点的反比例函数y?AC边交于点E．
（1）求证：AE?AO=BF?BO；
（2）若点E的坐标为（2，4），求经过O、E、F三点的抛物线的解析式；
（3）是否存在这样的点F，使得将△CEF沿EF对折后，C点恰好落在OB上？若存在，求出此时的OF的长：若不存在，请说明理由．
【思路点拨】（1）根据反比例函数的性质得出xy?k，即可得出AE?AO=BF?BO。 （2）利用E点坐标首先求出BF=
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kx(k?0)的图象与
43，再利用待定系数法求二次函数解析式即可。
【例3】（湖南娄底）在等腰梯形ABCD中，AD∥BC，且AD=2，以CD为直径作⊙O1，交BC于点E，过点E作EF⊥AB于F，建立如图所示的平面直角坐标系，已知A，B两点的坐标分别为A（0，23），B（﹣2，0）． （1）求C，D两点的坐标． （2）求证：EF为⊙O1的切线．
（3）探究：如图，线段CD上是否存在点P，使得线段PC的长度与P点到y轴的距离相等？如果存在，请找出P点的坐标；如果不存在，请说明理由．
【思路点拨】（1）连接DE。（2）连接O1E，可证O1E∥AB，再由EF⊥AB，证明O1E⊥EF即可。（3）过P作PM⊥y轴于M，作PN⊥x轴于N，再利用锐角三角函数定义求解。
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【例4】（浙江金华、丽水）如图，在平面直角坐标系中，点A（10，0），以OA为直径在第一象限内作半圆C，点B是该半圆周上一动点，连接OB、AB，并延长AB至点D，使DB=AB，过点D作x轴垂线，分别交x轴、直线OB于点E、F，点E为垂足，连接CF．
（1）当∠AOB=30°时，求弧AB的长度； （2）当DE=8时，求线段EF的长；
（3）在点B运动过程中，是否存在以点E、C、F为顶点的三角形与△AOB相似，若存在，请求出此时点E的坐标；若不存在，请说明理由．
【思路点拨】（1）连接BC。（2）连接OD，证明△OEF∽△DEA，再利用相似比求EF。 （3）当以点E、C、F为顶点的三角形与△AOB相似时，分为①当交点E在O，C之间时，②当交点E在点C的右侧时，③当交点E在点O的左侧时三种情况，分别求出E点坐标。
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【学力训练】
1、（福建泉州）如图1，在第一象限内，直线y=mx与过点B（0，1）且平行于x轴的直线l相交于点A，半径为r的⊙Q与直线y=mx、x轴分别相切于点T、E，且与直线l分别交于不同的M、N两点．
（1）当点A的坐标为（33，p）时，
①填空：p=___ ，m= ___，∠AOE= ___．
②如图2，连接QT、QE，QE交MN于点F，当r=2时，试说明：以T、M、E、N为顶点的四边形是等腰梯形；
（2）在图1中，连接EQ并延长交⊙Q于点D，试探索：对m、r的不同取值，经过M、D、N三点的抛物线y=ax+bx+c，a的值会变化吗？若不变，求出a的值；若变化．请说明理由。
2、（浙江湖州）已知：在矩形AOBC中，OB?4，OA?3．分别以OB，OA所在
直线为x轴和y轴，建立如图所示的平面直角坐标系．F是边BC上的一个动点（不与B，C2
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