重合），过F点的反比例函数y?kx(k?0)的图象与AC边交于点E．
（1）求证：△AOE与△BOF的面积相等；
（2）记S?S△OEF?S△ECF，求当k为何值时，S有最大值，最大值为多少？
（3）请探索：是否存在这样的点F，使得将△CEF沿EF对折后，C点恰好落在OB上？若存在，求出点F的坐标；若不存在，请说明理由．
3、（浙江嘉兴）如图，直角坐标系中，已知两点O(0，0)，A(2，0)，点B在第一象限且
△OAB为正三角形，△OAB的外接圆交y轴的正半轴于点C，过点C的圆的切线交x轴于
点D．
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（1）求B，C两点的坐标； （2）求直线CD的函数解析式；
（3）设E，F分别是线段AB，AD上的两个动点，且EF 平分四边形ABCD的周长．试探究：△AEF的最大面积？
cm（如图1）4、（08杭州市） 在直角梯形ABCD中，?C?90?，高CD?6。动点P,Q
同时从点B出发，点P沿BA,AD,DC运动到点C停止，点Q沿BC运动到点C停止，两点运动时的速度都是1cm/s。而当点P到达点A时，点Q正好到达点C。设P,Q同时从点B出
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发，经过的时间为t?s?时，?BPQ的面积为y?cm2?（如图2）。分别以t,y为横、纵坐标建立直角坐标系，已知点P在AD边上从A到D运动时，y与t的函数图象是图3中的线段MN。
（1）分别求出梯形中BA,AD的长度； （2）写出图3中M,N两点的坐标；
（3）分别写出点P在BA边上和DC边上运动时，y与t的函数关系式（注明自变量的取值范围），并在图3中补全整个运动中y关于t的函数关系的大致图象。
ADAPDy30B（图1）
CBQ（图2）
COt（图3） 函数及图像与几何问题的参考答案
【典型例题】
【例1】（山东济宁）
解：（1）∵y轴和直线l都是⊙C的切线，∴OA⊥AD BD⊥AD 。 又∵ OA⊥OB，∴∠AOB=∠OAD=∠ADB=90°。∴四边形OADB是矩形。 ∵⊙C的半径为2，∴AD=OB=4。
∵点P在直线l上，∴点P的坐标为（4，p）。 又∵点P也在直线AP上，∴p=4k+3。
（2）连接DN。∵AD是⊙C的直径，∴ ∠AND=90°。 ∵ ∠AND=90°－∠DAN，∠ABD=90°－∠DAN， ∴∠AND=∠ABD 。 又∵∠ADN=∠AMN，∴∠ABD=∠AMN。 ∵∠MAN=∠BAP ∴△AMN∽△ABP 。
（3）存在。理由如下：把x=0代入y=kx+3，得y=3，即OA=BD=3。
22∴AB=AD?BD?4?3?5。
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∵ S△ABD=
2
2
12AB·DN=
2
12AD·DB，∴DN=
125)?2AD?DBAB=
4?35?125。
∴AN=AD－DN=42?(∵△AMN∽△ABP ， ∴
25625。
) 即S?AMN?(2S?AMNS?ABP?(ANAPANAP)?S?ABP?2AN?S?ABPAP22 。
当点P在B点上方时，
∵AP2=AD2＋PD2 = AD2＋(PB－BD)2 =42＋(4k＋3－3)2 =16(k2＋1)， 或AP2=AD2＋PD2 = AD2＋(BD－PB)2 =42＋(3－4k－3)2 =16(k2＋1)， S△ABP=
12PB·AD=
212 (4k＋3)×4=2(4k＋3)，
256?2(4k?3)25?16(k?1)2∴S?AMN?AN?S?ABPAP2??32(4k?3)25(k?1)2?3225。
2
整理得k－4k－2=0 ， 解得k1 =2＋6 ， k2=2－6 。
当点P在B 点下方时，
∵AP2=AD2＋PD2 =42＋(3－4k－3)2 =16(k2＋1) ， S△ABP=
12PB·AD=
212 [－(4k＋3)]×4=－2(4k＋3)，
?256?2(4k?3)25?16(k?1)2∴S?AMN?AN?S?ABPAP2??3225。
整理得k2+1=－（4k＋3）， 解得k=－2。
综合以上所得，当k=2±6或k=－2时，△AMN的面积等于【例2】（湖南怀化）
解：（1）证明：∵E，F点都在反比例函数图象上，
∴根据反比例函数的性质得出，xy?k，∴AE?AO=BF?BO。 （2）设经过O、E、F三点的抛物线的解析式为y?ax2?bx?c， ∵点E的坐标为（2，4），∴AE?AO=BF?BO=8。 ∵BO=6，∴BF=
433225。
，∴F（6，
43），
把O、E、F三点的坐标分别代入二次函数解析式得：
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1?a????3?c?0??8?。 ?4a?2b?c?4，解得：?b?3??4?c?0?36a?6b?c?3???∴经过O、E、F三点的抛物线的解析式为y??13x?283x。
（3）如果设折叠之后C点在OB上的对称点为C'， 连接C'E、C'F，过E作EG垂直于OB于点G， 则根据折叠性质、相似三角形、勾股定理有： 设BC'=a，BF=b，则C'F=CF=4?b． ∴点的坐标F（6，b），E（1.5b，4）。 EC'=EC=6?1.5b，
∴在Rt△C'BF中，a2?b2?(4?b)2 ①。
∵Rt△EGC'∽Rt△C'BF，∴（6?1.5b）：（4?b）=4：a=（6?1.5b?a）：b ②。 解得：a?，b?38109，
109∴F点的坐标为（6，）。∴OF=
27549。
【例3】（湖南娄底） 解：（1）连接DE，
∵CD是⊙O1的直径，∴DE⊥BC。 ∴四边形ADEO为矩形． ∴OE=AD=2，DE=AO=23。 ∵在等腰梯形ABCD中，DC=AB， ∴CE=BO=2，CO=4。 ∴C（4，0），D（2，23）。
（2）连接O1E，在⊙O1中，O1E=O1C，∠O1EC=∠O1CE。 在等腰梯形ABCD中，∠ABC=∠DCB，∴O1E∥AB。 又∵EF⊥AB，∴O1E⊥EF。
∵E在AB上，∴EF为⊙O1的切线。
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