北京市西城区2014 — 2015学年度第一学期期末试卷
高二数学 2015.1
（理科）
试卷满分：150分 考试时间：120分钟
三 题号 分数 一 二 17 18 19 20 21 22 本卷总分 一、选择题：本大题共10小题，每小题4分，共40分. 在每小题给出的四个选项中，只有一
项是符合要求的.
x2?y2?1的实轴长为（ ） 1. 双曲线4A. 4 B. 2 C. 3 D. 1 2. 抛物线x2?4y的准线方程为（ ） A. y?2 B. y??2 C. y?1 D. y??1 3. 已知m,n表示两条不同直线，?表示平面，下列说法正确的是（ ） A. 若m//?,n//?,则m//n C. 若m??，n??，则m?n B. 若m??，m?n，则n//? D. 若m//?，m?n，则n?? 24. 命题“?a,b?R，如果a?b，则a?ab”的否命题为（ ） 2A. ?a,b?R，如果a?ab，则a?b 2B. ?a,b?R，如果a?ab，则a?b 2C. ?a,b?R，如果a?ab，则a?b 2D. ?a,b?R，如果a?b，则a?ab
5. 已知椭圆长轴长是短轴长的2倍，则椭圆的离心率为（ ） 3A. 2B. 1 23C. 3D. 1 3
6. 已知直线l1:ax?y?2?0和直线l2:x?ay?2?0平行，则实数a的值为（ ） A. 1
7. “a??3”是“圆x2?y2?1与圆(x?a)2?y2?4相切”的（ ） A. 充分而不必要条件 C. 充分必要条件
8. 如图所示，汽车前灯反光镜与轴截面的交线是抛物线的一部分，灯口所在的圆面与反光镜的轴垂直，灯泡位于抛物线的焦点处. 已知灯口的直径是24cm，灯深10cm，那么灯泡与反光镜的顶点（即截得抛物线的顶点）距离为（ ） A.10cm
9. 右图是正方体的平面展开图，在这个正方体中，正确的命题是（ ） ?A. BD与CF成60角 ? B. BD与EF成60角 ? C. AB与CD成60角 ? D. AB与EF成60角 B. ?1 C. ?1和1 D.2 3B. 必要而不充分条件 D. 既不充分也不必要条件 24cm 10cm B. 7.2cm C. 3.6cm D. 2.4cm D F C B E A
10. 如图，在边长为2的正方体ABCD?A1BC11D1中，P,Q分别为棱AB,A1D1的中点，M,N分别为面BCC1B1和遇正方体的面反DCC1D1上的点. 一质点从点P射向点M，射（反射服从光的反射原理），反射到点N，再经平面反射，恰好反射至点Q. 则三条线段PM,MN,NQ的长度之和为（ ） A. A1 D1 Q N D C1 B1 M C P B A D. 22 B. 21 C. 25 32
二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分. 把答案填在题中横线上. 11. 命题“?x?R,x2?2x?0”的否定是_______________.
12. 空间向量a?(?1,1,?2)，b?(1,?2,?1)，n?(x,y,?2)，且n//b. 则a?n?_______.
13. 右图是一个四棱锥的三视图，则该四棱锥的 体积为_______. 14. 已知F为双曲线C:2 22 x?y2?1的一个焦点， 32正（主）视图 2 侧（左）视图
则点F到双曲线C的一条渐近线的距离为_______.
俯视图
15. 由直线y?x上一点向圆(x?4)2?y2?1引切线，则切线长的最小值为 . 16 .已知点M(3,0)和点N(?3,0)，直线PM，PN的斜率乘积为常数a（a?0），设点P的轨迹为C.
给出以下几个命题：
①存在非零常数a，使C上所有点到两点(?4,0),(4,0)距离之和为定值； ②存在非零常数a，使C上所有点到两点(0,?4),(0,4)距离之和为定值； ③不存在非零常数a，使C上所有点到两点(?4,0),(4,0)距离差的绝对值为定值； ④不存在非零常数a，使C上所有点到两点(0,?4),(0,4)距离差的绝对值为定值. 其中正确的命题是________.（填出所有正确命题的序号）
三、解答题：本大题共6小题，共80分. 解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 17.（本小题满分13分）
如图，四边形ABCD为矩形，AD⊥平面ABE，?AEB（Ⅰ）求证：AD//平面BCE； （Ⅱ）求证：AE?BF．
18.（本小题满分13分）
A
E D
C
?90o， F为CE上的点.
F B
已知三个点A(0,0)，B(4,0)，C(3,1)，圆M为△ABC的外接圆. （Ⅰ）求圆M的方程；
（Ⅱ）设直线y?kx?1与圆M交于P,Q两点，且PQ?5，求k的值.
19.（本小题满分14分）
在四棱锥P?ABCD中，PA?平面ABCD，底面四边形ABCD为直角梯形，
AD//BC，AD?AB，PA?AD?2，AB?BC?1，Q为PD中点.
（Ⅰ）求证：PD?BQ；
（Ⅱ）求直线BQ与平面PCD所成角的正弦值.
20.（本小题满分14分）
Q
P A D
B C
x2?y2?1，直线l过点(0,?2)与椭圆W交于两点A,B，O为坐标原点. 已知椭圆W:43（Ⅰ）设C为AB的中点，当直线l的斜率为时，求线段OC的长；
2（Ⅱ）当△OAB面积等于1时，求直线l的斜率.
21.（本小题满分13分）
在如图所示的几何体中，四边形ABCD是矩形，AB?2BC?4,四边形CDEF是等腰梯形，EF//DC，EF?2，且平面ABCD?平面CDEF，AF?CF. （Ⅰ）过BD与AF平行的平面与CF交于点G. 求证：G为CF的中点； （Ⅱ）求二面角B?AF?D的余弦值.
22.（本小题满分13分）
如图，曲线E是由抛物线弧E1:y2?4x(0?x?A D B
E F G C
2)与椭圆弧3x2y22E2:2?2?1(?x?a)所围成的封闭曲线，且E1与E2有相同的焦点.
3ab（Ⅰ）求椭圆弧E2的方程；
（Ⅱ）设过点F(1,0)的直线与曲线E交于A,B两点，
y |FA|?r1,|FB|?r2，且?AFx??(0????)，试用 rcos?表示r1；并求1的取值范围.
r2
O x