同济大学课程考核试卷（A卷）
一. 填空题（每小题5分）
1 如果 z2?i，则argz?（ 2 Ln(?i) 的主值是（ ??4 ）或 （ ?3?4 ）
?2i ）
3 设f(z)?u?iv, 在复平面解析， 并满足u?1，则vx?（ 0 ） 4
?e|z|?1sinzdz?（ 0 ）
z5 设n为正整数，
?|z|?1ezdz?（ n2?i(n?1)! ）
?ezcosz,6 Res?2?z??0???（ 1 ） ?(e?z)coszz4z7 z?0是f(z)?z?1z?1的（ 4 ）级极点。
8 w?把（ 虚轴?Rez?0? ）映为单位圆?w?1?。
9 设f(x)?x?x?1，则L(f(x))?（ 10 设F(s)?1s?122s3?1s2?1s ）
，则L(F(s))?（
?1e?x ）。
二. （10分）设函数f(z)?u?iv在区域D:?z???argz???解析，并设函数
F(z)?f(e)在区域????Imz???内恒等于一个常数。证明：在
D:?z???argz???内，f(z)恒等于某个常数。
z解：由于函数F(z)?f(e)在区域????Imz???内恒等于一个常数，
zzzz在区域????Imz???内，F?(z)?ef?(e)?0?f?(e)?0（?e?0）；
z??(3分）
又由于e是从????Imz???到D:?z???argz???上的一对一映射，
z??(3分）
在D:?z???argz???上，f?(z)?0，??(3分） 所以f(z)恒等于某个常数。??(1分）
三. （6分）计算
?1z?3z2?z2?4?dz
?dz???(2分）2z??1?dz???(2分）2 z??1?z?31?1dz???dz?222z?34?z?z?4??z?4??1?1??dz??z?3?z?2??1?z?31?1??4?4??
???z?3?z?2?dz????z?31?1?2?i?2?i?0????0??(2分）?4?4???二． （8分）用围道积分方法计算
???cosxx?6x?102dx
f(z)?在上半平面有一个一级极点z1??e2izz?6z?10
?3?i。 ??(1分）
???ix????edx?Redx??2???(2分）2x?6x?10???x?6x?10?cosx?Re??2?i?Res(f,3?i)?????(2分）iz????e?Re?2?i????(2分）??z?3?i??????z?3?i???
??e?1?3i???cos3?Re?2?i???(1分）???2ie????
五．（6分）设f(z)?z311?zez，求Res?f(z),??。
Res??f?z?,??????Res??f?z?,?1???Res??f?z?,0???
Res?f,?1??lim?z?1?z??1z311?zez??e?1
由于f?z?在0?z?13的Laurent展开：
n??1?1????n!?z??????????n?0??nf?z??z????z??n?0??
知Res[f(z),0]??n?4??1?n!n?e?1?13
所以
1?1??1?1Res?fz,????e?e?????????3?3?六．（10分）求把角域??3?argz??3映射为单位圆?w?1?的一个共形映照。
??2?????（4分）???argz???i???0?arg?????3???e3z?3??3??Im??0??w?1??（4分）3???2w???i??i
所以
w?iziz3322?i?i?zz3322?1?1??（2分）
即为把角域??3?argw??3映射为单位圆的一个共形映照。
dydt22七． ．（10分）利用Laplace变换求常微分方程
?4dydt?3y?e4t满足y(0)?1，
y'(0)?0的特解。
解：设Y(s)=L(y)L(y???4y??3y)?L(e)?24t1s?4??（3分）1s?42?sY(s)?s?4(sY(s)?1)?3Y(s)?1?s?4??（2分）
4?Y(s)?s??2s?4s?3?s?4??1(s?4)?s?1??s?3?2??s?4?1???1?1y(t)?L(Y(s))?L?（1分）????(s?4)?s?1??s?3????y(t)?1??s?4?2?s?4??s?3?1??s?4?2est?s?11??s?4?2?s?4??s?1?ests?3??s?3??s?1?10653e?ttests?4??2?23te3t?4t13
e4te?e?13e,t?0??（4分）
同济大学课程考核试卷（B卷）
1 如果 z??z，则argz?（ 2 Ln(?i) 的主值是（
??2?2 ）或 （
??2 ）
i ）
3 设f(z)?u?iv, 在复平面解析， 并满足f2(z)?1，则f(z)f(2z)?（ 1 ） 4
?zdz|z|?1?（ 0 ）
5
?|z|?1esinzz1z4dz?（ 2?i ）
?166 Res[sinz,0]?（
z ）
7 z?0是f(z)?z?2iz?2i(e?1)coszz3的（ 2 ）级极点。
8 w?把?zImz?0?映为（ z?1 ）。
二 （6分）设函数f(z)?u?iv在区域D解析，并在D内满足u?2v?1。试证：在D内f(z)恒等于一个常数。
证：函数
f(z)?u?iv?u,v可微???C?R:ux?vy??(3分） 在区域D解析
?u??v,yx?另一方面，
u?2v?1?ux?2uy?0,vx?2vy?0?ux?2uy?0???2ux?uy?0
1?2?02?ux?0,uy?0?vx?0,vy?0。??(3分） 2C?R所以，在D内
u,v都恒为常数，从而f(z)?u?iv在D内恒为一个常数。
一. （6分）计算
?1z?1z?z?2?2dz
?
z?11??dz?2?i?2??i2?
z(z?2)?z?2?z?01 ??(4分） ??(2分）