2?四（8分）用围道积分方法计算
?5?3sin?d?.。
0sin?五．（10分）把下列函数在指定的圆环内展开成洛朗级数：
1(z?1)(z?2)，0?|z|?1.
1(z?1)(z?2)?11z??2?1??2????1?z?????（3分）??zn?0?n?1?2z2nn??（6分）
n?01?n????1?n?1?z??（1分）2?n?2?
六 （10分） 求把上半单位圆?z?1???Imz?0?映射为角域0?argw?照。
七． ．（10分）利用Laplace变换求常微分方程
dydt22?4的一个共形映
?5dydt?6y?e满足y(0)?0，
ty'(0)?0的特解。
八. (10分) 设f(z)在z?1上处处解析，，并满足在z?1上，f(z)?sinz。(i). 求f(z)在
z?12的值，并说明理由; (ii). 导出f(z)在z?0处的Taylor展开级数，并给出得到Taylor
系数的过程。
解：（1）f(z)在z?1上处处解析，由Cauchy积分公式得到
11f()?22?i?z?1f(?)??12 d???（3分）由已知条见件，在z?1上，f(z)?sinz， 所以
f()?22?i1211?z?1f(?)??12d??12?i?z?1sin???12d?
Cauchy公式???sin??（2分）（2）f(z)在z?1上处处解析，由Taylor级数定理，对n?0，Taylor系数可如下得到
cn?f(n)(0)n!?112?i?z?1f(z)zn?1dz?当z?1,f(z)?e???????z2?i?z?1sinzzn?1dz??sinz?(n)z?0n!
?(?1)n?12???n!?0?n?2k?1n?2k,k?0,1,???（3分）
所以， f(z)在z?0处的有Taylor展开级数如下：
?f(z)??n?0??1?nz2n?1(2n?1)!??（2分）