24.5 三角形的内切圆
01 基础题
知识点1 三角形的内切圆及作图
1．（2017·广州）如图，⊙O是△ABC的内切圆，则点O是△ABC的（B）
A．三条边的垂直平分线的交点 B．三条角平分线的交点 C．三条中线的交点 D．三条高的交点
2．制作铁皮桶，需在一块三角形材料上截取一个面积最大的圆，请画出该圆．（保留作图痕迹，不要求写作法）
解：如图，作出三角形的角平分线BD，CE，角平分线交点O即为所画圆的圆心，过点O作OF⊥BC，垂足为F，以O为圆心，OF为半径，作⊙O即为所求作的圆．
知识点2 三角形的内切圆的性质
3．若三角形的内心和外心重合，则这个三角形是（D）
A．直角三角形 B．等腰直角三角形 C．等腰三角形 D．等边三角形
4．如图，点I是△ABC的内心，∠BIC＝130°，则∠BAC的度数为（C）
A．65° B．50° C．80° D．100°
5．如果△ABC的三边长分别为a，b，c，它的内切圆半径为r，那么△ABC的面积为（B）
1
A．（a＋b＋c）·r C.（a＋b＋c）·r
13
14
1
B.（a＋b＋c）·r 2
D.（a＋b＋c）·r
6．等边三角形的内切圆半径为1，那么这个等边三角形的边长为（D）
B．3 C.3 D．23
7．（2018·黄石）在Rt△ABC中，∠C＝90°，CA＝8，CB＝6，则△ABC的内切圆的周长为
4π．
8．（教材P44习题T2变式）如图，△ABC内，内切圆⊙O与BC，AC，AB分别相切于点D，E，F，若∠FDE＝65°，求∠A的度数．
A．2
解：连接OE，OF.
∵AB，AC分别是⊙O的切线，∴∠AEO＝∠AFO＝90°. ∴∠A＋∠EOF＝180°. 由圆周角定理知：∠EOF＝ 2∠EDF＝130°，
∴∠A＝180°－∠EOF＝50°.
9．（教材P44习题T3变式）如图，⊙O是△ABC的内切圆，切点分别为D，E，F，AB＝AC＝13，BC＝10，求⊙O的半径．
解：连接AF，则AF⊥BC. 在Rt△ABF中， 11
BF＝BC＝×10＝5，
22
∴AF＝AB－BF＝13－5＝12.
11
∴S△ABC＝BC·AF＝×10×12＝60.
22
2
2
2
2
2
1
设⊙O的半径是r，则×（13＋13＋10）·r＝60，
210
解得r＝.
310
∴⊙O的半径为. 3
易错点 内心与外心概念混淆不清
10．（教材P43例题变式）如图，△ABC是圆的内接三角形，点P是△ABC的内心，∠A＝50°，则∠BPC的度数为115°．
02 中档题
11．（2017·武汉）已知一个三角形的三边长分别为5，7，8，则其内切圆的半径为（C） 33
B. C.3 D．23 22
12．等边三角形内切圆半径，外接圆半径和高的比为1∶2∶3．
13．如图，△ABC中，AB＝AC，∠A为锐角，CD为AB边上的高，点O为△ACD的内切圆圆心，则∠AOB＝135°．
A.
14．如图，已知在△ABC中，∠A＝90°.
（1）请用圆规和直尺作出⊙P，使圆心P在AC边上，且与AB，BC两边都相切；（保留作图痕迹，不写作法和证明）
（2）若∠B＝60°，AB＝3，求⊙P的面积．
解：（1）如图所示．
（2）∵∠ABC＝60°，BP平分∠ABC， ∴∠ABP＝30°.
3
∴BP＝2AP.
设AP＝x，则BP＝2x.由勾股定理，得 AB＝BP－AP＝（2x）－x＝3x. ∵AB＝3，
∴3x＝3，解得x＝3. ∴AP＝3. ∴S⊙P＝3π.
15．如图，已知点I是△ABC的内心，AI交BC于点D，交外接圆⊙I于点E，连接EC.求证：
（1）IE＝EC；
2
（2）IE＝ED·EA. 证明：（1）连接IC.
2
2
2
2
∵点I是△ABC的内心，
∴∠ACI＝∠BCI，∠BAE＝∠CAE. 又∵∠BAE＝∠BCE， ∴∠CAE＝∠BCE.
∴∠CAE＋∠ACI＝∠ICB＋∠BCE. ∴∠EIC＝∠ICE. ∴IE＝EC.
（2）由（1）可知：∠CAE＝∠BCE. 又∵∠AEC＝∠CED， ∴△DCE∽△CAE. CEDE∴＝. AECE
∴CE＝DE·EA. ∵IE＝EC，
2
∴IE＝DE·EA.
03 链接中考 16．（2018·湖州）如图，已知△ABC的内切圆⊙O与BC边相切于点D，连接OB，OD.若∠ABC＝40°，则∠BOD的度数是70°．
2
4
第16题图 第17题图
17．（2018·威海）在扇形CAB中，CD⊥AB，垂足为D，⊙E是△ACD的内切圆，连接AE，BE，则∠AEB的度数为135°．
5
6