则P(C)?P(A2B1?A3B1?A3B2) ?P(A2B1)?P(A3B1)?P(A3B2)
?P(A2)P(B1)?P(A3)P(B1)?P(A3)P(B2)??1295959 ?????20202020202099 ??4分 2001， 4（2）从甲班随机抽取1人，其学业水平优秀的概率为
1则X=0，1，2，X~B(2,)
49032P(X?0)?C2()? ??1分
4161P(X?1)?C21363??? ??2分 441681212P(X?2)?C2()? ??3分
416则X的分布列为：
X 0 9 161 3 82 1 16P ??4分
1931?2(或EX?0??1??2??2) ??5分 41681617.（Ⅰ）因为平面KAC?底面ABC，且AB垂直于这两个平面的交线AC
EX?np?2?所以AB?平面KAC ?? 1分 所以AB?CH ?? 2分 因为CK=CA，H为AK中点 所以CH?AK?? 3分 因为AB?AK=A，所以CH?平面AKB. ?? 4分
（Ⅱ）如图建立空间直角坐标系A-xyz,
则（A0,0,0），B（2,0,0），C（0,2,0），K（0,2,2），H（0,1,1）???????? ?? 1分 所以CH=（0,?1,1）, BC=（-2,2,0）?设平面HBC的法向量为n?(x,y,z),
??????CH?n?0??y?z?0?即? 则???????2x?2y?0??BC?n?0??令y=1,则z=1,x=1.所以n?(1,1,1) ?? 3分
??取平面ABC的法向量为m?(0,0,1) ?? 4分 ??????m?n13 ?? 5分 cos?m,n???????3|m|?|n|3因为所求的二面角为锐角， 所以二面角H-BC-A 的余弦值为3. ?? 6分 3????????（a,b,c）（Ⅲ）设KN=?KB，N, ?? 1分
则（a,b?2,c?2）=(2?,-2?,-2?)?a?2??所以?b?2?2??c?2?2??
（2?,2-2?,2-2?） 所以N
?????（2?,1-2?,2-2?）因为M(0,1,0)，所以MN= ?? 2分
??????由MN?n?0可得3-2?=0，
3所以?=. ?? 3分
2????3????3????3|KN|?|KB|?|KB|??23?33.
222所以直线KB上存在点N，KN的长为33. ?? 4分
（18）（1）当 a?1 时，f(x)?x?11，f?(x)?1?2 ????2分 xx35f(2)?, f?(2)? ????3分
24所以，函数f(x)在点(2,f(2))处的切线方程为y?35?(x?2) 24即：5x?4y?4?0 ????4分 (Ⅱ)函数的定义域为：{x|x?0} ????1分
a?2ax2?(2?a)f(x)?a?2?(a?0) ????2分 2xx'当0?a?2时，f'(x)?0恒成立，所以，f(x)在(??,0)和(0,??)上单调递增 当a?2时，令f'(x)?0，即：ax2?2?a?0，x1??a?2,x2?aa?2 af'(x)?0,x?x2或x?x1;f'(x)?0,x1?x?0或0?x?x2,
所以，(?f(x)单调递增区间为(??,?a?2a?2)和(,??)，单调减区间为aaa?2a?2,0)和(0,). ????4分 aa（Ⅲ）因为f(x)?2lnx在[1,??)上恒成立，有ax?在[1,??)上恒成立。 所以，令g(x)?ax?'a?2?2?2a?2lnx?0(a?0) xa?2?2?2a?2lnx， xa?22ax2?2x?a?2(x?1)[ax?(a?2)]则g(x)?a?2??. ?22xxxxa?2令g'(x)?0,则x1?1,x2?? ????2分
aa?2?1，即a?1时，g'(x)?0，函数g(x)在[1,??)上单调递增，又g(1)?0 a所以，f(x)?2lnx在[1,??)上恒成立； ????3分
若?若?a?2a?2?1，即a?1时，当x?(0,1),(?,??)时，g'(x)?0,g(x)单调递增； aaa?2)时，g'(x)?0，g(x)单调递减 aa?2)， a当x?(1,?所以，g(x)在[1,??)上的最小值为g(?因为g(1)?0,所以g(??a?2)?0不合题意. ????4分 aa?2a?2?1,即a?1时，当x?(0,?),(1,??)时，g'(x)?0,g(x)单调递增， aaa?2,1)时，g'(x)?0,g(x)单调递减， a当x?(?所以，g(x)在[1,??)上的最小值为g(1) 又因为g(1)?0，所以f(x)?2lnx恒成立
综上知，a的取值范围是[1,??). ????5分
（19）（Ⅰ）由椭圆定义知：2a?42，所以a?22 ??1分
x2y2 所以，椭圆G:?2?1，将点M(2, 2)的坐标代入得b2?4。??3分
8bx2y2??1 ??4分 所以，椭圆G的方程为84 （Ⅱ）右焦点F(2,0)
由题意，直线m有斜率，设方程为y?k(x?2) ??1分
令x?4，得点C(4,2k)，所以k3?kMC?k?22； ??3分 ?y?k(x?2) 又由??x2y2消元得：(1?2k2)x2?8k2x?8k2?8??8?4?1?0，
y显然??0， 设A(x1,y1), B(x2,y2)，则
M???x?x8k212?B1?2k2? ??5分 F?2?x?x?8k?8?121?2k2A 所以，k1?ky2?1?2x?y2?2?y12?y2x?2(1?1) 1?2x2?2x1?2?2x1?2x2?2 ?2k?2?x1?x2?4(x
1?2)(x2?2) ?2k?2?x1?x2?4x ??7分
1x2?2(x1?x2)?4k?2?8k2?4(1?2k2 ?2)8k2?8?16k2?4?8k2
?2k?2??4?4?2k?2 ??9分 所以，kk1?k2?2k3，即
1?k2k?2为定值。 ??10分 3方法二：ky2yk?2)kx1?k2?1?2?2kx1?(22?(2kx2?x???2) 1?2?2x1?2x2?2 ?2kx1x2?(4k?2)(x1?x2)?4(2k?2)(x2)(x2)
1?2? ?2kx1x2?(4k?2)(x1?x2)?4(2k?2)x(x ??7分
1x2?21?x2)?4 ?2k(8k2?8)?(4k?2)?8k2?4(2k?2)(1?2k2)8k2?8?16k2?4?8k2 ?16k3?16k?32k3?82k2?(16k3?82k2?8k?42)?4
??8k?42?4?2k?2 ??9分
所以，kk1?k2?2k1，即
1?k2k?2为定值。 ??10分3Cxl
（20）（I）(2,3)，(2,5)，(3,5)，(9,17) ??4分
（II）m以(a,b)为基底的坐标(x,y)有无数个。 ??1分
因为(a,b)为基底，对于?的整数m， ?x0,y0?Z，使m?x0a?y0b成立，即(x0,y0)为数m以(a,b)为基底的坐标，则(x0?kb,y0?kb)，k?Z，都是数m以(a,b)为基底的坐标， 证明如下：
(x0?kb)a?(y0?ka)b?x0a?y0b?kba?kba?m
所以(x0?kb,y0?ka)，k?Z，都是数m以(a,b)为基底的坐标，有无数个。 ??4分 （III）m?2k?1，k?N*，理由如下： ??1分 首先，对任意m?2k，k?N*，(2,m)不是全体整数的一个基底；反证法， 假设此时(2,m)是全体整数的一个基底，则?x,y?Z，有1?2x?my成立，
而数2,m都为偶数，所以2x?my为偶数，不可能等于1，所以假设不成立，即对任意m?2k，k?N*，(2,m)不是全体整数的一个基底。 ??3分
下面证明，对所有满足题意的正奇数，对任意m?2k?1，k?N*，(2,2k?1)是全体整数的一个基底。 因为1??k?2?1?(2k?1)，即(?k,1)为数1以(2,2k?1)为基底的坐标，对于?m?Z，显然(?km,m)为数m以(2,2k?1)为基底的坐标，即??km,m?Z，使m??km?2?m?(2k?1)成立，即对任意m?2k?1，k?N*，(2,2k?1)是全体整数的一个基底。 ??5分