?，且0?cosA?1， ????????11分 211所以 当cosA?时，f(A)有最小值是?． ????????12分
3911所以f(A)的取值范围是[?,)． ????????13分
93所以 0?A?
16．证明：（Ⅰ）取AD中点O，连结OP，OB，BD．
因为 PA=PD，
P所以 PO⊥AD． ????????1分
因为 菱形ABCD中，∠BCD=60o， 所以 AB=BD， D所以 BO⊥AD． ????????2分
O因为 BO∩PO=O， ????????3分 所以 AD⊥平面POB．????????4分 A所以 AD⊥PB． ????????5分 （Ⅱ）由（Ⅰ）知BO⊥AD，PO⊥AD．
z因为 侧面PAD⊥底面ABCD，
P且平面PAD∩底面ABCD=AD，
所以PO⊥底面ABCD． ????????6分 以O为坐标原点，如图建立空间直角坐标系O?xyz． O????????7分
A则D(?1,0,0)，E(?1,3,0)，P(0,0,1)， xQCEBQCEByDC(?2,3,0)，
因为Q为PC中点， 所以Q(?1,31,)． ????????8分 22????????31,)， 所以 DE?(0,3,0)，DQ?(0,22??所以平面DEQ的法向量为n1?(1,0,0)．
????????31,)， 因为 DC?(?1,3,0)，DQ?(0,22?????????x?3y?0,??????DC?n2?0,设平面DQC的法向量为n2?(x,y,z)， 则??????? ??3?1y?z?0.???DQ?n2?0?22???令x?3，则y?1，z??3，即n2?(3,1,?3)． ????????9分
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??????????n?n221??cos?n1,n2????1??．
7|n1||n2|由图可知，二面角E-DQ-C为锐角，所以余弦值为
21． ????????10分 7????????PQ（Ⅲ）因为??，所以 PQ??PC，
PC????????由（Ⅱ）知PC?(?2,3,?1)，PA?(1,0,?1)，
????若设Q(x,y,z)，则PQ?(x,y,z?1)，
?x??2??????????由 PQ??PC， 得?y?3?，
?z????1?????????在平面DEQ中，DE?(0,3,0)，DQ?(x?1,y,z)?(1?2?,3?,1??)，
??所以平面DEQ法向量为n1?(1??,0,2??1)， ????????12分
又因为 PA // 平面DEQ，
??????所以 PA?n1?0， ????????13分
即(1??)?(?1)(2??1)?0，得??所以，当??2． 32时，PA // 平面DEQ． ????????14分 3
17．解：(Ⅰ)根据频率分布直方图中的数据，可得
1?(0.005?0.0075?0.0225?0.035)?10?0.1?0.07?0.03，
10所以 a?0.03． ????????2分 a?（Ⅱ）学生成绩在[50,60)内的共有40×0.05=2人，在[60,70)内的共有40×0.225=9人，
成绩在[50,70)内的学生共有11人． ????????4分 设“从成绩在[50,70)的学生中随机选3名，且他们的成绩都在[60,70)内”为事件A，
????????5分
3C928则P(A)?3?． ????????7分
C1155所以选取的3名学生成绩都在[60,70)内的概率为
28． 55（Ⅲ）依题意，X的可能取值是1，2，3． ????????8分
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2112C2C9C2C9243P(X?1)?3??； P(X?2)?； 3C1155C115528． ????????10分 P(X?3)?P(A)?55所以X的分布列为 ? 1 2 3 P 3 5524 5528 55????????11分
E??1?
3242827． ????????13分 ?2??3??55555511218．解：（Ⅰ）当a?1时，f(x)?x?3x?lnx，f?(x)?2x?3?1． ????????1分 x因为f?(1)?0，f(1)??2， ????????2分 所以切线方程为 y??2． ????????3分 （Ⅱ）函数f(x)?ax?(a?2)x?lnx的定义域为(0,??)．
212ax2?(a?2)x?1当a>0时，f?(x)?2ax?(a?2)??(x?0)，????????4分
xx2ax2?(a?2)x?1(2x?1)(ax?1)??0， 令f?(x)?0，即f?(x)?xx所以x?当0?11或x?． ????????5分 2a1?1，即a?1时，f(x)在[1,e]上单调递增， a所以f(x)在[1,e]上的最小值是f(1)??2； ????????6分 当1?当
11?e时，f(x)在[1,e]上的最小值是f()?f(1)??2，不合题意； aa1?e时，f(x)在(1,e)上单调递减， a所以f(x)在[1,e]上的最小值是f(e)?f(1)??2，不合题意． ????????7分 综上可得 a?1． ????????8分 （Ⅲ）设g(x)?f(x)?2x，则g(x)?ax?ax?lnx， ????????9分
只要g(x)在(0,??)上单调递增即可．
212ax2?ax?1而g?(x)?2ax?a??， ????????10分
xx丰台区高三数学第二学期统一练习（一）（理科）第 8 页 共 10 页
当a?0时，g?(x)?1?0，此时g(x)在(0,??)单调递增； ????????11分 x2当a?0时，只需g?(x)?0在(0,??)恒成立，因为x?(0,??)，只要2ax?ax+1?0， 则需要a?0，
对于函数y?2ax?ax+1，过定点(0,1)，对称轴x?21?0，只需??a2?8a?0， 4即0?a?8． ????????12分 综上可得 0?a?8． ????????13分
19．解：（Ⅰ）依题意a?2，
22c2，所以c?2． ????????2分 ?a22因为a?b?c， 所以b?2． ????????3分
x2y2椭圆方程为??1． ????????5分
42?x2?2y2?4（Ⅱ）?
?y?kx?mk?1x)?4kmx?2m?4?，0消y得 (2??0． ????????6分
因为A(x1,y1)，B(x2,y2)，
2222m2?44km所以 x1?x2??2，x1x2?． ????????7分 22k?12k?1设直线MA：y?y16y16y2(x?2)，则yP?；同理yQ?????????9分 x1?2x2?2x1?2因为
1111???， y1y2yPyQx?2x2?2x?4x2?466??1???0． ????????10分 ， 即16y16y26y16y26y16y2所以
所以 (x1?4)y2?(x2?4)y1?0，
所以 (x1?4)(kx2?m)?(x2?4)(kx1?m)?0，
2kx1x2?m(x1?x2)?4k(x1?x2)?8m?0，
2m2?44km4km2k?m(?)?4k(?)?8m?0，
2k2?12k2?12k2?1丰台区高三数学第二学期统一练习（一）（理科）第 9 页 共 10 页
所以
?8k?8m?0，得 m??k． ????????13分
2k2?1则y?kx?k，故l过定点(1,0)． ????????14分
20．解：（Ⅰ）因为 f(x)?x?x， 所以 f'(x)?2x?1．
所以 an?1?2an?1， 所以 an?1?1?2(an?1)，且a1?1?1?1?2， 所以数列{an?1}是首项为2，公比为2的等比数列．
所以 an?1?2?2n?1?2n， 即an?2n?1． ????????4分 （Ⅱ）（ⅰ）假设存在实数b，使数列{bn}为等差数列，则必有2b2?b1?b3，
且b1?b，b2?f(b1)?b?b，b3?f(b2)?(b?b)?(b?b)． 所以 2(b?b)?(b?b)?(b?b)?b， 解得 b?0或b??2．
当b?0时，b1?0，bn?1?f(bn)?0，所以数列{bn}为等差数列； 当b??2时，b1??2，b2?2，b3?6，b4?42，显然不是等差数列．
所以，当b?0时，数列{bn}为等差数列． ????????9分 （ⅱ）b1?b?0，bn?1?f(bn)，则bn?1?f(bn)?bn2?bn； 所以 bn2?bn?1?bn；
222222222bnbn?bnbn2b?b11???n?1n??所以 ． bn?1bn?1?bnbn?1?bnbn?1?bnbnbn?1因为 bn2?bn?1?bn?0，
所以 bn?1?bn?bn?1???b1?b?0； 所以
bi111111111?(?)?(?)???(?)???． ?bbbbbbbbbbi?1i?11223nn?1n?1????????13分
n
（若用其他方法解题，请酌情给分）
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