浅谈向量混合积的应用
摘要 向量代数在数学学习过程中有着很重要的作用，本文重点列举了向量的混合积在微分
几何、立体几何、空间解析几何及数学分析等方面的应用，从而体现了向量的混合积应用的广泛性. 关键词 向量；混合积
向量的混合积在实际应用中在不同的方面都有着广泛的作用，下面就混合积
在各领域的运用予以举例说明.
混合积的定义 给定空间的三个矢量a,b,c，如果先做前两个矢量a和b的失性积，再做所得的矢量与第三个矢量c的数性积，最后得到的这个数叫做三矢量
?????????a,b,c的混合积，记做(a?b)?c或(a,b,c)或(abc).
?????????性质1三个不共面矢量a,b,c的混合积的绝对值等于以a,b,c为棱的平行六面体的体积V，并且当a,b,c构成右手系时混合积是正数；当a,b,c构成左手系时，混合积是负数，也就是有
(abc)??V,
???????????????当a,b,c是右手系时??1;当a,b,c是左手系时???1.
性质2 三矢量a,b,c共面的充要条件是(a,b,c)?0.
性质3 轮换混合积的三个因子，并不改变它的值，对调任何两个因子要改变乘积符号，即
(abc)?(bca)?(cab)??(bac)??(cba)??(acb).
??????????????????????????????推论 (a?b)?c=a?(b?c).
性质3 如果a?X1i?Y1j?Z1k,b?X2i?Y2j?Z2k,c?X3i?Y3j?Z3k,那么
(abc)?X2X3?????????????????????X1Y1Y2Y3Z1Z2. Z3?一、在微分几何中的应用
引理1 向量函数r(t)具有固定长的充要条件是对于t的每个值，r?(t)都与
r(t)垂直.
??2证明 （必要性）若r(t)?常数，则有r(t)?r(t)?常数，等号两边求微分有2r(t)?r?(t)?0,故r(t)?r?(t).
??dr(t)2?0，故r(t)=常数，即r(t)（充分性）若r(t)?r?(t)则r(t)?r?(t)?0,即dt??????????2??2有固定长.
引理2向量函数r(t)具有固定方向的充要条件是对于t的每个值，
r?(t)?r(t)=0.
????证明 （必要性）若r(t)具有固定方向，则可设r(t)??(t)a（a为单位常向量）
r?(t)???(t)a+?(t)a????(t)a
?????????r?r?(t)??(t)a???(t)a??(t)???(t)a?a?0.
??????（充分性）若r?(t)?r(t)=0，设r(t)??(t)a(t)（a(t)为单位向量，需证
a?(t)?0）
????????r?(t)???(t)a(t)+?(t)a?(t)
???又因为r?r?(t)??(t)???(t)a(t)?a(t)??(t)a(t)?a?(t)??(t)a(t)?a?(t)?0 所以a(t)?a?(t)?0
而[a(t)?a?(t)]?[a(t)?a?(t)]?[a(t)?a?(t)]?a(t)?a?(t)?[a(t)?a?(t)]?0. 又因为a(t)为单位向量，故a(t)?1，由引理1又有a(t)?a?(t)?0 故[a(t)?a?(t)]=a?(t)?0， 即a?(t)?0， 所以a(t)=常向量,
即r(t)??(t)a（a为单位常向量），r(t)具有固定方向.
定理1 向量函数r(t)平行于固定平面的充要条件是对于t的每个值，
????????2????????2??2?????2?????2?2??2??2????2??(r,r?,r??)?0.
???证明 （必要性）设固定平面的单位法向量为n，依题意r(t)?n，则
r(t)?n?0，从而r?(t)?n?0,r??(t)?n?0，即r(t)，r?(t)，r??(t)与n都垂直，它们
?????????????共面，故(r,r?,r??)?0.
r??(t)共面，r?(t)，r?(t)共线，（充分性）由已知r(t)，若r(t)，即r(t)?r?(t)=0.
???????????又因为r(t)?0，由引理2可知r(t)具有固定方向，故r(t)平行于固定平面.
若r(t)，r?(t)不共线，即r(t)?r?(t)?0，则由r(t)，r?(t)，r??(t)共面则有
r??(t)??(t)r(t)??(t)r?(t)，记n(t)?r(t)?r?(t),则
n?(t)?[r(t)?r?(t)]??r?(t)?r?(t)?r(t)?r??(t)?r(t)?r??(t)??(t)r(t)?r?(t)??(t)n(t)，
??????????????????????????????从而n(t)?n?(t)?0,，但n?(t)?0,故由引理2得n(t)具有固定方向，n(t)?n0（常向量）
又r(t)?n0，故r(t)平行于以n0为法方向的平面，r(t)平行于固定平面. 二、在立体几何中的应用
1 求解体积问题
定理 三个不共面的向量a,b,c的混合积的绝对值是以a,b,c为棱的平行六面体的体积.
例1 求证平行六面体ABCD?A?B?C?D?的体积是以AC,AD?,AB?为棱的平行六面体的体积的一半.
证明 设平行六面体ABCD?A?B?C?D?的体积为V,以AC,AD?,AB?为棱的平行六面体的体积记为V?.
又设AB?a，AD?b,AA??c，则
V??(AC,AD?,AB?)
???????????????????????????????????(a?b,b?c,c?a)
??????=(a?b)?(b?c)?(c?a)
=(a?b?a?c?b?b?b?c)?(c?a)
????????????????????????????=a?b?c?a?b?a?a?c?c?a?c?a?b?c?c?b?c?a
???=2a?b?c
???=2(a,b,c)
=2V 命题得证. 2 求异面直线的距离
定理 设两条异面直线L1,L2的方程分别为
L1:x?x1y?y1z?z1?? m1n1p1x?x2y?y2z?z2?? m2n2p2L2:??其中s1?(m1,n1,p1),s2?(m2,n2,p2)分别是直线L1,L2的方向向量，M1(x1,y1,z1)，
M2(x2,y2,z2)分别是直线L1,L2上的已知点，则异面直线是我距离为
m1(s1?s2)?M1M2d?s1?s2?????n1n2y2?y1im1m2jn1n2kp1p2p1p2z2?z1m2?x2?x1
例2 设空间两条异面直线L1,L2的方程分别为
L1:x?2y?3z?4 ??112x?1y?1z L2:??33?1??解 两条直线的方向向量分别为s1?(1,1,2),s2?(3,2,?1)，两条直线分别过点
M1(2,3,4)，M1(?1,1,0)，得M1M2?(?3,?2,?4),所以三向量s1，s2，M1M2不共
????面，由定理得
1(s1?s2)?M1M2d?s1?s2?????12jk22?1=
3=
?3?2?1i11562?562 6232?1所以两条异面直线之间的距离为
d?562. 62例3 已知AC1为棱长为a的正方体,求异面直线BD和AC1之间的距离. 解 如图
建立如图所示的坐标系,易得异面直线BD和AC1的方程分别为
AC1:x?0y?0z?0 ??aaax?0y?0z?0 BD:???aa0???所以三个不共面的向量分别为AC1?(a,a,a), BD?(?a,a,0),AB?(a,0,0).根据定理得
(AC1?BD)?ABd?AC1?BD??????6a. 6计算结果与中学立体几何中求得的结果完全一致,但是用向量代数知识处理更加方便、快捷.
三、在空间解析几何中的应用
在空间解析几何中的应用我们主要看看一题多解的情况，从而来看混合积解题的优点.
?y?3x?5例4 一直线通过A(?3,5,?9)且与两直线L1:?，L2?z?2x?3?y?4x?7:?相?z?5x?10