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福建省南安一中2010届高三上学期期末考试
数学（理科）试卷
班级 姓名 座号
第Ⅰ卷（选择题 共50分）
一 选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分.在每小题给出的四个选项中，只有一个是符合题目要求的。
1．设全集U?{1,2,3,4}两个集合A?{2}，B?{2,3,4}，则 等于( ) A．{1} B．{1，3，4} C．{2} D．{3，4}
2．在?ABC中,BC?a,AC?b,AB?c,如果a?3,b?4,那么“c?5”是“?ABC为直角三角形”的( )
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不是充分又不是必要条件 3．若1?2x??的展开式的第3项为12，则x等于( )
4A. log23 B. 131 C. log46 D. 2 24．抛物线y2?4x上点P(a,2)到焦点F的距离为( )
A. 1 B. 2 C .4 D .8
5．已知数列{an}的通项公式为an?2n?3,n?N?，其前n项和为Sn，则使Sn?48成立的n的最小值为( )
A .7 B. 8 C. 9 D. 10
6．4张卡片上分别写有数字1，2，3，4，从这4张卡片中随机抽取2张，则取出的2张卡片上的数字之和为奇数的概率为（ ） A．
1 3 B．
21 2 C．2 3 D．
3 47．已知函数y?sinx?cosxA. 是偶函数，有最大值为x?(??,?)则下列正确的是( )
55 B. 是偶函数，有最小值为
44C. 是偶函数，有最大值为2 D. 是奇函数，没有最小值
8．右图中,阴影部分的面积是 ( ) A. 20 B. 24 C.
8840 D. 33错误！未
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9. 如果x、y满足?22?x?y?0，则有( )
?x?y?0A. x?y?2x?0 B. x2?y2?2x?0 C. x2?y2?2x?0 D. x2?y2?2x?0
10．现要给四棱锥P?ABCD的五个面涂上颜色，要求相邻的面涂不同的颜色，可供选择
的颜色共有4种，则不同的涂色方案的种数共有( )
A．36 B．48 C．72 D．96
第Ⅱ卷(非选择题 共100分)
二、填空题：本大题共5小题，每小题4分共20分。 11．复数
i(2?i)等于 . 1?2i12．一个公司共有1 000名员工，下设一些部门，要采用分层抽样方法从全体员工中抽取一个容量为50的样本，已知某部门有200名员工，那么从该部门抽取的工人数是 . 13．如图，是一程序框图，则输出结果为 ．
x2y2??1的两个焦点，点P在双曲14．设F1,F2是双曲线
9160线上，且?F1PF2?60，
那么△F1PF2的面积是 .
15．已知一几何体的三视图如下，正视图和侧视图都是矩形，俯视图为正方形，在该几何体
上任意选择4个顶点，它们可能是如下各种几何形体的4个顶点，这些几何形体是 （写出所有正确结论的编号）． ①矩形；
②不是矩形的平行四边形； bba③有三个面为直角三角形，
有一个面为等腰三角形的四面体；
aaa④每个面都是等腰三角形的四面体； 俯视图正视图侧视图⑤每个面都是直角三角形的四面体．
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三、解答题:本大题共6小题，共80分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 16. ( 本小题满分13分)
????设函数f(x)=p?q，其中向量p?(sinx,cosx?sinx)，q?(2cosx,cosx?sinx),x?R. (1)求f(
?)的值及f(x)的最大值。 3 (2)求函数f(x)的单调递增区间
17．（本小题满分13分）
如图：PA⊥平面ABCD，ABCD是矩形，PA=AB=1，PD与平面ABCD所成角是30°，点F是PB的中点，点E在边BC上移动.
（Ⅰ）点E为BC的中点时，试判断EF与平面PAC的位置关系,并说明理由； （Ⅱ）证明：无论点E在边BC的何处，都有PE⊥AF；
P （Ⅲ）当BE等于何值时，二面角P-DE-A的大小为45°.
F
A B
E D C
18. ( 本小题满分13分)
a1?2.若关于x的方程x?(an?1)x?已知正数数列?an?中，
22an?1?0(n?N?)有相4等的实根.
(Ⅰ)求?an?的通项公式 （Ⅱ）求证
11112?????? (n?N?). 1?a11?a21?a31?an3
19. ( 本小题满分13分)
y2?1，椭圆C2长轴的两个端点恰好为双曲线C1的两个焦已知双曲线C1的方程为x?82点.
（Ⅰ）如果椭圆C2的两个焦点又是双曲线的两个顶点，求椭圆C2的方程;
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x2y2??1，且椭圆C2上存在两点A，B关于直线y?x?1（Ⅱ）如果椭圆C2的方程为9b对称，求b取值范围.
20.( 本小题满分14分)
已知函数f(x)?ax3?3x2?6ax?11,g(x)?3x2?6x?12,和直线m：y?kx?9 .又
f?(?1)?0. (Ⅰ)求a的值；
(Ⅱ)是否存在k的值，使直线m既是曲线y=f（x）的切线，又是y=g(x) 的切线；如果存
在，求出k的值；如果不存在,说明理由.
(Ⅲ)如果对于所有x??2的x,都有f(x)?kx?9?g(x)成立，求k的取值范围. 21（本题有三个小题，每小题7分，请任选两题作答，如果全做，则按前两题计分） （1）、在直角坐标系中，△OAB的顶点坐标O(0 , 0)，A(2，0)，B(1，2 )，求
?1
△OAB在矩阵MN的作用下变换所得到的图形的面积，其中矩阵M = ?
?0
?? ， –1?
0
??N = ??
10
2222
?? ． ??
1?x?t?,??t（2）、过点P（－3，0）且倾斜角为30°的直线和曲线?(t为参数)相交于A、B两
1?y?t??t?点．求线段AB的长． （3）证明不等式：?1111?????211?21?2?31?2?3???n
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福建省南安一中2010届高三上学期期末考试
数学（理科）试卷参考答案
一．1.D 2.A 3.B 4.B 5.C 6.C 7.A 8.D 9. A 10. C
5 14.163 15.①③④⑤ 11三．16解：（I）?p??sinx,cosx?sinx?，q??2cosx,cosx?sinx?，
二．11.-1 12. 10 13.
?f(x)?p?q=?sinx,cosx?sinx? ·?2cosx,cosx?sinx?
?3?1?2sinxcosx?cos2x?sin2x ?sin2x?cos2x .?f()= . 32?又f(x)?sin2x?cos2x?2sin(2x?) ?函数f(x)的最大值为2.
4π当且仅当x??kπ（k?Z）时，函数f(x)取得最大值为2.????7分
8πππ3ππ≤x≤kπ? （k?Z）（II）由2kπ?≤2x?≤2kπ? （k?Z），得kπ?
242883ππ?函数f(x)的单调递增区间为[kπ?,kπ?](k?Z). ????????13分
8817．解: 解法一:（Ⅰ）当点E为BC的中点时，EF与平面PAC平行.
∵在?PBC中，E、F分别为BC、PB的中点，∴EF∥PC 又EF?平面PAC 而PC?平面PAC ∴EF∥平面PAC. ???4分
（Ⅱ）证明:?PA?平面ABCD，BE?平面ABCD,
?EB?PA.又EB?AB,AB?AP?A,AB,AP?平面PAB，?EB?平面PAB,
又AF?平面PAB，∴AF?BE.
又PA?AB?1,点F是PB的中点,?AF?PB, ??4分
又?PB?BE?B,PB,BE?平面PBE,?AF?平面PBE.
?PE?平面PBE，?AF?PE. ???8分
(Ⅲ)过A作AG?DE于G，连PG，又∵DE?PA， 则DE?平面PAG,
则?PGA是二面角P?DE?A的平面角， ∴?PGA?45，???10分
∵PD与平面ABCD所成角是30，∴?PDA?30， ∴AD?3，PA?AB?1.
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