第2章第4课时 函数图像
一、选择题 1．函数y＝ln
1
的大致图像为( ) |x＋1|
1
解析：由题意，可知函数f(x)的图像关于直线x＝－1对称，排除A、C；又f(－)＝ln2
2＞0，故选D.
答案：D
ex＋ex
2．(2009·山东)函数y＝x－x的图像大致为( )
e－e
－
ex＋ex
解析：方法一：∵f(－x)＝－xx＝－f(x)，
e－e
－
ex＋ex
∴f(x)＝x－x在其定义域{x|x≠0}上是奇函数，图像关于原点对称，排除D.
e－e
－
ex＋exe2x＋1ex＋ex2
又y＝x－x＝2x＝1＋2x，当x＞0时，函数y＝x－x是减函数，排除B、C.
e－ee－1e－1e－e
－
－
故选A.
方法二：函数定义域为{x|x≠0}，
?ex＋ex?′?ex－ex?－?ex－ex?′?ex＋ex?y′＝ －?ex－ex?2－
－
－
－
＝
－4
＜0. －
?e－ex?2xex＋ex
∴函数y＝x－x在(－∞，0)和(0，＋∞)上都是减函数，故选A.
e－e
－
答案：A
3．把函数y＝f(x)＝(x－2)2＋2的图像向左平移1个单位，再向上平移1个单位，所得图像对应的函数的解析式是( )
A．y＝(x－3)2＋3 C．y＝(x－1)2＋3
B．y＝(x－3)2＋1 D．y＝(x－1)2＋1
解析：把函数y＝f(x)的图像向左平移1个单位，即把其中x换成x＋1，于是得y＝[(x＋1)－2]2＋2＝(x－1)2＋2，再向上平移1个单位，即得到y＝(x－1)2＋2＋1＝(x－1)2＋3.
答案：C
4．为了得到函数y＝2x3－1的图像，只需把函数y＝2x的图像上所有的点( )
－
A．向右平移3个单位长度，再向下平移1个单位长度 B．向左平移3个单位长度，再向下平移1个单位长度 C．向右平移3个单位长度，再向上平移1个单位长度 D．向左平移3个单位长度，再向上平移1个单位长度
?x′＝x＋3，?－
解析：由y＝2x得到y＝2x3－1，需用x－3换x，用y＋1换y，即?∴按
?y′＝y－1，?
平移向量(3，－1)平移，即向右平移3个单位，向下平移1个单位.
答案：A
5．函数g(x)与函数f(x)＝lg(x－1)(x＞1)的图像关于原点对称，则函数g(x)的大致图像是下列图像中的( )
解析：先作出f(x)＝lgx的图像，再向右平移1个单位长度，得到f(x)＝lg(x－1)的图像，再作所得图像关于原点对称的图像，得到B选项.
答案：B
x
??2－1 ?x≤0?，
6．(2011·平顶山模拟)f(x)的定义域为R，且f(x)＝?若方程f(x)＝x＋a
?f?x－1? ?x＞0?，?
－
有两不同实根，则a的取值范围为( )
A．(－∞，1) C．(0,1)
解析：x≤0时，f(x)＝2x－1，
－
B．(－∞，1] D．(－∞，＋∞)
0＜x≤1时，－1＜x－1≤0，
f(x)＝f(x－1)＝2
－(x－1)
－1.
故x＞0时，f(x)是周期函数，如图， 欲使方程f(x)＝x＋a有两解，
即函数f(x)的图像与直线y＝x＋a有两个不同交点， 故a＜1，则a的取值范围是(－∞，1). 答案：A 二、填空题
x
7．为了得到函数f(x)＝log2x的图像，只需将函数g(x)＝log2的图像___________．
8x
解析：g(x)＝log2＝log2x－3＝f(x)－3，因此只需将函数g(x)的图像向上平移3个单位，
8即可得到函数f(x)＝log2x的图像．
答案：向上平移3个单位
8．已知直线y＝x＋m与函数y＝1－x2的图像有两个不同的交点，则实数m的取值范围是__________．
解析：函数y＝1－x2的图像如下图(实线)所示，由图可知1≤m＜2.
答案：1≤m＜2
9．当a＞1时，已知x1，x2分别是方程x＋ax＝－1和x＋logax＝－1的解，则x1＋x2等于__________．
解析：直接解方程很难，可以将方程变形为ax＝－1－x，logax＝－1－x，转化为函数y＝ax，y＝logax，y＝－1－x图像的交点问题.
答案：－1 三、解答题
10．作出下列函数的图像： (1)y＝10|lgx|；
(2)y＝x－|x－1|.
??lgx， x≥1，
解析：(1)|lgx|＝?
?－lgx，0＜0＜1，?
当x≥1时，10|lgx|＝10lgx＝x； 当0＜x＜1时，y＝10
－lgx
1
＝. x
x， x≥1，??
故y＝10|lgx|＝?1
，0＜x＜1.??x
根据直线与反比例函数直接作出该分段函数的图像，如图①所示．
(2)根据绝对值的意义，可将函数式化为分段函数
??1， x≥1，
y＝? ?2x－1， x＜1.?
可见其图像是由两条射线组成，如图②所示.
11．若1＜x＜3，a为何值时，x2－5x＋3＋a＝0有两解、一解、无解．
解析：原方程化为a＝－x2＋5x－3， ① 作出函数y＝－x2＋5x－3(1＜x＜3)的图像(如图)， 显然该图像与直线y＝a的交点的横坐标是方程①的解， 13
由图可知，当3＜a＜时，原方程有两解；
413
当1＜a≤3，或a＝时，原方程有一解；
413
当a＞，或a≤1时，原方程无解.
4
1
12．已知函数f(x)的图像与函数h(x)＝x＋＋2的图像关于点A(0,1)对称．
x
(1)求f(x)的解析式，
a
(2)若g(x)＝f(x)＋，且g(x)在区间(0,2]上为减函数，求实数a的取值范围．
x
解析：(1)设f(x)图像上任一点P(x，y)，则点P关于(0,1)点的对称点P′(－x,2－y)在h(x)的图像上，
1
即2－y＝－x－＋2，
x1
∴y＝f(x)＝x＋(x≠0)．
x
a＋1a＋1a
(2)g(x)＝f(x)＋＝x＋，g′(x)＝1－2.
xxx∵g(x)在(0,2]上为减函数， a＋1
∴1－2≤0在(0,2]上恒成立，
x即a＋1≥x2在(0,2]上恒成立， ∴a＋1≥4，即a≥3. 故a的取值范围是[3，＋∞).
自助餐·选做题
1．若关于x的方程4－x2＝kx＋2只有一个实根，则实数k的取值范围为( ) A．k＝0 C．k＞1，或k＜－1
B．k＝0，或k＞1
D．k＝0，或k＞1，或k＜－1
解析：方程4－x2＝kx＋2的根可以转化为y1＝4－x2，y2＝kx＋2的图像交点，直线y2＝kx＋2过点P(0,2)，半圆y1＝4－x2与x轴交于A(－2,0)，B(2,0)，kPA＝1，kPB＝－1.当k＝0，或k＞1，或k＜－1时，直线与半圆只有一个交点，如图所示.
答案：D
2．定义域和值域均为[－4,4]的函数y＝f(x)和y＝g(x)的图像如图所示，下列命题正确的是( )