平方差、完全平方公式的应用
例题精讲
板块一：公式的几何意义
【例 1】 (2005年福州市中考题)如图，从边长为a的正方形内去掉一个边长为b的小正方形，然后将剩余部
分拼成一个长方形，上述操作所能验证的公式是__________.
aab
b
【解析】 如图，左图中阴影部分的面积为a2?b2，右图中阴影部分的面积为(a?b)(a?b)，而两图中阴影部分
的面积应该是相等的，
故验证的公式为(a?b)(a?b)?a2?b2(反过来写也可)
【巩固】 (06年四川内江)如图，四张全等的矩形纸片拼成的图形，请利用图中空白部分面积的不同表示方法，
写出一个关于a、b的恒等式___________.
abab
【解析】(a?b)2?(a?b)2?4ab或4ab?(a?b)2?(a?b)2
【巩固】 (05福建漳州课改)如图，在边长为a的正方形中剪去一个边长为b的小正方形(a?b)，把剩下的部
分拼成一个梯形，分别计算这两个图形的面积，验证了公式_________________.
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abb
b 1【解析】左图中阴影部分的面积为a2?b2，右图中阴影部分的面积为(2b?2a)(a?b)?(a?b)(a?b)，故验
2证了公式(a?b)(a?b)?a2?b2(反过来写也可)
【巩固】 请设计一个几何图形，验证(a?b)2?a2?2ab?b2.
aaba-ba-bb2b 【解析】换汤不换药，图形同上，将其中的字母修改即可，如图整个大正方形的面积为a，两个小正方形的
面积分别为(a?b)2、b2，另外两个长方形的面积均为b(a?b)，
2故(a?b)2?a2?b2?2(a?b)b?a2?2ab?b2，这就是差的完全平方公式的几何意义.
板块二：平方差公式
【例 2】 运用平方差公式计算：
11⑴(x2y?)(x2y?)
22
⑵(?4a?1)(?4a?1)
⑶(am?bn)(am?bn)
1111【解析】 ⑴(x2y?)(x2y?)?(x2y)2?()2?x4y2?
2224⑵(?4a?1)(?4a?1)?(?4a)2?12?16a2?1
⑶(am?bn)(am?bn)?(am)2?(bn)2?a2m?b2n
【巩固】 利用平方差公式简化计算：
⑴59.8?60.2
⑵102?98
⑶123462?12345?12347 (4)20082
114⑷1?
1515【解析】 ⑴59.8?60.2?(60?0.2)(60?0.2)?602?0.22?3599.96
⑵102?98?(100?2)(100?2)?1002?22?9996
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⑶12346?12345?12347?12346?(12346?1)(12346?1)?12346?(12346?1)?1
114111124⑷1??(1?)(1?)?1? ?15151515125125
【巩固】 计算：⑴(x?3)(x?3)(x2?9)； ⑵(2a?3b)(4a?5b)(2a?3b)(5b?4a)； 【解析】 ⑴(x?3)(x?3)(x2?9)?(x2?9)(x2?9)?x4?81；
⑵原式?(4a2?9b2)(25b2?16a2)?100a2b2?64a4?225b4?144a2b2??64a4?244a2b2?225b4；
【例 3】 （03年河南中考题）如果(2a?2b?1)(2a?2b?1)?63，那么a?b的值是 【解析】 ∵(2a?2b?1)(2a?2b?1)?63，∴?2(a?b)??12?63，∴a?b??4
【例 4】 ⑴(人大附单元练习)求积A的个位数字：
222222
A??2?1??22?1??24?1??28?1??216?1??232?1??264?1?
⑵(第19届希望杯培训试题)12?22?32?42?52?62???992?1002的值是( )
A.5050. B.?5050. C.10100. D.?10100.
【解析】 ⑴A??2?1??2?1?22?1?264?1?264?1264?1?2128?1
2n各位数字的循环4个一周期，周期为：2、4、8、6，128?4?32，
所以2128个位为6，故2128?1个位为5．(另解：5的奇数倍个位一定是5)
⑵原式?(1?2)(1?2)?(3?4)(3?4)?(5?6)(5?6)???(99?100)(99?100)
3?199????1?(3?7?11???199)??1??50????5050，故选B.
2??????????
【巩固】 (第18届希望杯培训试题)
2005?20072006?20082007?2009已知a?，b?，c?，比较三者大小．
2006200720082005?2007(2006?1)(2006?1)1【解析】 ， a???2006?2006200620062006?200812007?20091，c?，易得a?b?c． b??2007??2008?2007200720082008
??【解析】 原式??2?1??2?1??2
【巩固】 计算：?2?1?22?124?1?232?1?1
2432?????1??2?1???2?1??1?264
1??1??1??1??1???1?【巩固】 (101数学实验班辅导资料)?1???1???1???1? ??2n??2??4??16??256??2?1??1?1?1?1??1??1???【解析】 原式?2?1???1???1???1????1?2n??2?1?4n??2?4n?1．
2??4??16??2?2?2???2?
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【巩固】 计算(a?b)(a?b)(a2?b2)(a4?b4)
【解析】 原式?(a2?b2)(a2?b2)(a4?b4)?(a4?b4)(a4?b4)?a8?b8 【点评】本题可推广为：(a?b)(a?b)(a2?b2)......(a2?b2)?a2?b2
【巩固】 计算：(3?1)(32?1)(34?1)(38?1)(316?1)(332?1)
【解析】 设S?(3?1)(32?1)(34?1)(38?1)(316?1)(332?1)，两边乘以(3?1)，得
(3?1)S?(3?1)(3?1)(32?1)(34?1)(38?1)(316?1)(332?1)nnn?1n?1 ?(32?1)(32?1)(34?1)(38?1)(316?1)(332?1)???364?1
364?1164232∴S?(3?1)，即(3?1)(3?1)?(3?1)?．
22
【补充】求3?5?17?.....?(22?1)的值.
【解析】 观察原式的每一项，均可写成2n?1(n?1,2,...2n?1)的形式，而1=2-1，
故原式?3?5?17?.....?(22?1)?(2?1)?(2?1)?(22?1)?....?(22?1)?22?1.
【例 5】 (07年华罗庚金杯赛前集训)
296?1有可能被60到70之间的两个整数整除，试求出这两个数． 【解析】 296?1?248?1248?1?26?126?1212?1224?1248?1
122448n?1n?1nn?1???63?65??2?1??2?1??2?????????????1?，这两个数是63和65．
【巩固】 (07年华罗庚金杯赛前集训)已知324?1可能被20至30之间的两个整数整除，求这两个整数． 【解析】 324?1?312?1312?1?312?136?133?133?1?312?136?1?28?26
所求二整数为28、26．
????????????????板块三：完全平方公式
【例 6】 计算：⑴(?8a?11b)2
⑵(?2x?3y)2
【解析】 ⑴原式?(11b?8a)2?121b2?176ab?64a2； ⑵原式?(2x?3y)2?4x2?12xy?9y2.
11【巩固】 计算：⑴(4m?n)2 ⑵(x?)2 ⑶(3x?2y)2 ⑷(?4y?)2
24【解析】 ⑴(4m?n)2?(4m)2?2?4mn?n2?16m2?8mn?n2
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1111⑵(x?)2?x2?2x?()2?x2?x?
2224⑶(3x?2y)2?(3x)2?2?3x?2y?(2y)2?9x2?12xy?4y2
11?1111?⑷(?4y?)2???(4y?)??(4y?)2?(4y)2?2?4y??()2?16y2?2y?
44?44416?2
【巩固】 计算：⑴(3a2b?0.5ab2)2 ⑵(11am?13bn)2 ⑶(2x?5)(5?2x)?(2x?5)2 【解析】 ⑴(3a2b?0.5ab2)2?9a4b2?3a3b3?0.25a2b4；
⑵(11am?13bn)2?121a2m?286amnn?169b2n；
⑶(2x?5)(5?2x)?(2x?5)2??(2x?5)2?(2x?5)2??2(2x?5)2??8x2?40x?50.
【例 7】 计算：⑴(a?b?c)2 ⑵(a?b?c)2 ⑶(a?2b?3c)2 【解析】 ⑴原式?a2?b2?c2?2ab?2ac?2bc
⑵原式?a2?b2?c2?2ab?2ac?2bc ⑶原式?a2?2b3?3c2?4ab?6ac?18bc
【例 8】 计算：
⑴(x?2)2(x?2)2；
⑶(a?b?c)(a?b?c)；
1⑷(06成都中考题)先化简，再求值：(3x?2)(3x?2)?5x(x?1)?(2x?1)2，其中x??
32【解析】 ⑴(x?2)2(x?2)2??(x?2)(x?2)??(x2?4)2?x4?8x2?16；
⑵(x?5y?9)(x?5y?9)?x2?(5y?9)2?x2?(25y2?90y?81)?x2?25y2?90y?81. ⑶原式??a?(b?c)??a?(b?c)??a2?(b?c)2?a2?b2?c2?2bc
⑷(3x?2)(3x?2)?5x(x?1)?(2x?1)2?9x2?4?5x2?5x?(4x2?4x?1)?9x?5
11 又x??，故原式=9x?5?9?(?)?5??8
33
2【巩固】 ⑴(05江苏盐城)先化简后求值：??(x?y)?(x?y)(x?y)???2x，其中x?3，y?1.5.
⑵计算：(2x?y?2)(y?2x?2).
222222【解析】 ⑴??(x?y)?(x?y)(x?y)???2x?(x?2xy?y?x?y)?2x?(2x?2xy)?2x?x?y.
⑵(x?5y?9)(x?5y?9)；
又x?3，y?1.5，故原式?x?y?3?1.5?1.5.
2 法2：?(x?y)?(x?y)(x?y)????2x?(x?y)?2x?2x?x?y?1.5
⑵原式?[2?(2x?y)][2?(2x?y)]?4?(2x?y)2?4?4x2?4xy?y2
【例 9】 填空：⑴a2?b2?(a?b)2?______；
⑵a2?b2?(a?b)2?______；
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