mm22、（14分）我们把y?x(m?Q)叫做幂函数。幂函数y?x(m?Q)的一个性质是：当m?0时，在(0??上上是减函数。设幂函数,)是增函数；当m?0时，在(0??,)f(x)?x(n?2,n?N)。
n（１） 若gn(x)?f(x)?f(a?x),x?(0,a)，证明：
a2nn?1?gn(x)?a
n/（２） 若gn(x)?f(x)?f(x?a)，对任意n?a?0，证明：gn(n)?n!a
（共
14分）
- 6 -
2011级石室中学高三第一次月考数学试卷(理)答案
1——12：DADBD 13、
CDBDD 14、6 12
AD 15、14
16、4020
[3,??)
17解：（1）∵tanB?又tanB?tanC?1312＜1∴B＜45°，同理，C＜45°，∴B+C＜90°，∴A为钝角. （1分）
15110，∴sinB?，cosB?，cosC?25310； . （4分）
，∴sinC?∴cosA??cos(B?C)??[cosBcosC?sinBsinC]?（6分）
（2）∵C＜B＜A，∴△ABC中最短边为c，最长边为a?15?110?25?310??22，∴A=135°.
5. （9分）
又
csinC?asinA,c110?522，∴c=1. （12分）
18答案：（Ⅰ）记事件A为“所选3人中至少有一名女生”，则其对立事件A为“所选的3人全是男生”. ∴P(A)?1?P(A)?1?C4C347?1?435?3135C333. ------------6分
12（Ⅱ）?的可能取值为：0,1,2,3. P(??0)?21C7?435135，P(??1)?C4C3C73?1235，
P(??2)?C4C3C73?1835，P(??3)?. ----------8分
∴?的分布列为：
? P 0 1 2 3 135?1?123512351835?3?1835435 E??0?135?2?435. ------------12分
19.答案：（Ⅰ）法一、在平行四边形ACDE中, ∵AE?2,AC?4,?E?60?,点B为DE中点.
∴?ABE?60?,?CBD?30?,从而?ABC?90?,即AB?BC.----------3分
ABB1. 又AA1?面ABC,BC?面ABC∴AA1?BC,而AA1?AB?A, ∴BC?平面A1z ∵BC?平面A1BC ∴平面A1BC?平面A1ABB1.----6分 法二、∵AE?2,AC?4,?E?60?,点B为DE中点. A1 B1 A E C1 - 7 - C y D x B ∴AB?2,BC?23,AB?BC222?16?AC，∴AB?BC.--3分
又AA1?面ABC,BC?面ABC，∴AA1?BC,而AA1?AB?A, ∴BC?平面A1ABB1 ∵BC?平面A1BC， ----------6分
（Ⅱ）方法一、由（Ⅰ）可知A1B?BC,AB?BC ∴?A1BA为二面角A1?BC?A的平面角,即?A1BA?∴
平
面
A1B?C平面A1ABB1.
?,
AA1A1B?255,cos?? 在Rt?A1AB中, sin??sin?A1BA?ABA1B?55.----------8分
以A为原点,建立空间直角坐标系A?xyz如图所示, 其
A1(?设n?(x,y,z)为平面A1BC的一个法向量,则
????????n?A1B?0?3x?y?4z?0??x?3y ?????,∴即? ----------10分 ??????z?y?n?BC?0??3x?3y?0??????|AC?n|45令y?1,得平面A1BC的一个法向量n?(3,1,1),则sin????????, ?5|AC||n|4?5又0???????????????,B(3,1,0),C(0,4,0),AC?(0,4,0),A1B?(3,1,?4),BC?(?3,3,0), 0中
?2, ∴cos??1?sin??22555,
∴sin(???)?sin?cos??cos?sin??----------12分
方法二、由（Ⅰ）可知A1B?BC,AB?BC
25?255?55?55?1, 即sin(???)?1.
A1
B1
F C1
∴?A1BA为二面角A1?BC?A的平面角,即?A1BA?在Rt?A1AB中,AB?2,AA1?4,A1B?25, ?,
A .----8分
sin??sin?A1BA?AA1A1B?255,cos??ABA1B?55C
B
D
E 过点A在平面A1ABB1内作AF?A1B于F,连结CF,
则由平面A1BC?平面A1ABB1,且平面A1BC?平面A1ABB1?A1B,得AF?平面A1BC ∴?ACD为直线AC与平面A1BC所成的角,即?ACD??. ----------10分 在Rt?ACF中,AF?AA1?ABA1B?455,sin??AFAC??55?,cos??1?sin??2255.
∴sin(???)?sin?cos??cos?sin??-----12分 20.（1）lim25525555?55?1, 即sin(???)?1.
anSnn???limSn?Sn?1Snn???lim(1?n??Sn?1Sn)?1?limSn?1Snn??
- 8 -
limSn?1Snn???limn??n?111??, n?133a112 所以limanSn=
23??6分
n??（2）当n=1时，
?S1?6?3； ?????ann2当n>1时,
a112?a222?S112?S2?S122?????Sn?Sn?1n2
=(112?122)S1?(122?132)S2?????(ann21(n?1)n2?1n2)Sn?1?1n2Sn?1n2Sn?n?nn22?3?3
nn所以,n?1时,
a1 12?a222?…?2＞3??12分
21解：（1）由题意f?(x)?x?(k?1)x????????1分
2因为f(x)在区间(2,??)上为增函数，所以f?(x)?x分
?(k?1)x?0在(2,??)上恒成立，?3
即k?1?x恒成立,又x?2，所以k?1?2,故k?1????????5分 当k=1时，f?(x)?x符合题意.
所以k的取值范围为k≤1.????????6分
2?2x?(x?1)?1在x?(2,??)恒大于0，故f(x)在(2,??)上单增，
2（2）设h(x)?f(x)?g(x)?x33?(k?1)2x?kx?213，
h?(x)?x?(k?1)x?k?(x?k)(x?1)
令h?(x)?0得x?k或x?1??????8分 由（1）知k≤1，
①当k=1时，h?(x)?(x?1)22?0,h(x)在R上递增，显然不合题意???9分
②当k<1时，h(x),h?(x)随x的变化情况如下表：
x (??,k) + k 0 极大 (k,1) － 1 0 (1,+?) + h?(x) 极小 h(x) ↗ ?k36?k22?13↘ k?12 ↗ ????????11分
- 9 -
由于
k?12?0,欲使f(x)与g(x)图象有三个不同的交点，即方程f(x)?g(x)，
也即h(x)?0有三个不同的实根。故需?k36?k22?132?0即(k?1)(k?2k?2)?0,
?k?1所以?,解得k?1?2?k?2k?2?0分
3。综上，所求k的范围为k?1?3.????????14
22.证明（1）∵gn(x)?f(x)?f(a?x)?x?(a?x)， ∴gn(x)?nx//n?1nn?n(a?x)n?1n?1(?1)?n[xn?1n?1?(a?x)n?1]
令gn(x)?0，得x由下表：
x ?(a?x)，又x?(0,a)。根据幂函数的单调性，得x?a?x，即x?a2
(0,a2) a20 ((a2,a) + gn(x) gn(x) /－ 单减↘ 极小 n单增↗ ∴gn(x)min?gn(a)?()?(a?)?n?1 2222nanana又gn(x)在x?0,x?a处连续，且gn(0)?gn(a)?a，
故
a2nn?1?gn(x)?a
nnn（2）∵gn(x)?f(x)?f(x?a)=x?(x?a)， ∴gn(x)=nx//n?1?n(x?a)?(x?a)/n?1=n[xn?1?(x?a)n?1]，
则gn(x)=n[xn?1n?1]。
∵当x?a?0时，gn(x)?0，∴x?a?0时，gn(x)是关于x的增函数， ∴当n?a时，(n?1)?(n?1?a)?n?(n?a)。 ∴
nnnngn?1(n?1)?(n?1)[(n?1)?(n?1?a)]?(n?1)[n?(n?a)]?(n?1)[n?n(n?a)=(n?1)n[n
n?1/nnnnnn?1]
?(n?a)n?1]?(n?1)gn(n)
- 10 - /于是
gn?1(n?1)g(n)/n/?n?1，而g2(2)?2[2///2?1?(2?a)2?1]?2a
当n?3时，g(n)?/ngn(n)g/n?1(n?1)g?gn?1(n?1)/n?2(n?2)?????g3(3)g(2)/2/?g2(2)?n?(n?1)?????3?2a?n!a
/又g2(2)?2a?2!a，故n?2,n?N时，有gn(n)?n!a
//
- 11 -