19. ⑴证明：由已知?ABC是正三角形，?BAC??BCA?60，
?又?AC?BC?CD ??CAD??CDA?30??1分
???BAD?30??60??90?，AB?AD??2分
又?AA1?底面ABD，?AA1?AD??3分
?AB?AA1?A，?AD?平面AA1B??4分
又?AD?平面AC1D ?平面AC1D?平面AA1B??5分
AB?AD，?以A为原点，建立空间直角坐标系??6分 ⑵?AA1?底面ABD，
如图，A(0,0,0),D(23,0,0),C1(3,1,4)??7分
zB1C1?????????AD?(23,0,0),AC1?(3,1,4)??8分
??设平面ADC1的法向量n?(x,y,z)，则
??????n?AD?0,??23x?0,即???9分 ????????n?AC1?0,??3x?y?4z?0,???x?0所以?取z?1，则n?(0,?4,1)??10分
y??4z,?A1yBACD?????????n?m117取平面ADB的法向量为m?(0,0,1)，则cos?n,m??????， ?|n||m|1717由图知二面角C1?AD?B为锐角，所以二面角C1?AD?B的余弦值为（方法二）取AD的中点E，连接CE、C1E??6分
x17??12分 172?AC?BC?CD，?CE?AD，?CC1?底面ACD，AC1?CC1?AC2，
DC1?CC1?DC2，?AC1?DC1，C1E?AD，?CEC1是二面角C1?AD?B的
平面角??8分
2?AC?2，?CAD?300，?CE?1??9分
?CC1?底面ACD，?CC1?CE，C1E?CC1?CE2?17??11分
二面角C1?AD?B的余弦值为cos?C1EC?
2CE17??12分 ?C1E1720.解：⑴由已知
c3?3，c??a??1分
a22?b?a2?c2?1a，?a?b?3，?a?2,b?1??3分
22x?椭圆C的标准方程为?y2?1??4分 4⑵设P(x1,y1)、Q(x2,y2)，把直线x?y?m?0代入椭圆方程得
x2?4(?x?m)2?4?0，即5x2?8mx?4m2?4?0??5分
2由??0得64m2?20(4m2?4)?0，即m?5，?m?0，?0?m?5??6分
8m?x?x?12??5由根与系数之间的关系得???8分 2?xx?4m?412?5?????????1212?OP?OQ?，?x1x2?y1y2???9分
55?x?y?m?0，y??x?m，
?y1y2?(?x1?m)(?x2?m)?x1x2?m(x1?x2)?m2??10分
22124m?48m12?2x1x2?m(x1?x2)?m?，2???m2???11分 55552解得m?4，?0?m?5，?m?2，PQ的方程为x?y?2?0??12分
2
21.解：⑴当m?2时，f(x)?5151lnx??x，f'(x)??2?1(x?0)??1分 2x2xxx?1)?f'(x)??(x?2)(2(x?0)??2分 22x11由f'(x)?0得?x?2；由f'(x)?0得0?x?或x?2??3分
2211?f(x)在（0，）和（2，??）（，2）上单调递增，在上单调递减??4分
22?f(x)极大?f(2)?5ln2?3??5分
221m?m?1?1(x?0)??6分 ⑵f'(x)?xx2由已知f'(x1)?f'(x2)(x1,x2?0且x1?x2)得
?m?11m?m?1?m?1，即x?x?(m?1)x?x??7分
1212mx1x12x2x22x1?x22)恒成立， 21x?x22)??8分 又∵x1,x2?0，m?0，?x1?x2?(m?)(1m2?x1?x2?4对m?4恒成立??9分
1m?m11令g(m)?m?(m?4)，则g'(m)?1?2
mm117+?)递增 ?g(m)?g(4)???10分 ∵m?4?g'(m)?0，?g(m)?m?在[4，m411111/记h(x)?f(x)?(m?)?2?1??2(x?m)(x?)，
mxxmx112mh/(x)??(m?)3(x?2)，h(x)?f/(x)的符号与单调性为
mxm?1111mmm(0 , ) ) ( , m) m (m , ??) x ( , 2 mmmm?1m2?1m2?1f/(x)的∵x1?x2，?由不等式性质可得x1?x2?(符号 － ↗ 0 + + + 0 － ↘ f/(x)的单调性 ??11分 ↗ 最大值 ↘ 1，x2?m（以下均假设x1?x2），l1在l2的下m1//方，l1//l2；若f(x1)?f(x2)?0，则x1?(0 , )，x2?(m , ??)，l1、l2在点
m1m)，(m , f(m))的两侧，l1//l2；若f/(x1)?f/(x2)?0，则x1?( , 2mm?1mmmx2?(2 , m)，l1、l2在点(2 , f(2))的两侧，l1//l2。
m?1m?1m?116416综上所述，l1//l2时，x1?x2??，x1?x2的取值范围是(,??)??12分
1717174//若f(x1)?f(x2)?0，则x1?
?????????????OP22. 证明：⑴（方法一）∵OP1?OP2??OP3 1?OP2?OP3?0 ，
????????2????2????2?????????????2????2?(OP?OP1?OP2)?OP3，1?2OP1?OP2?OP2?OP3??1分
?????????????2????2????21??OP?OP?OP?1OP?OP??∵|OP，，??3分 |?|OP|?|OP|?1123121232|P1P2|?|OP2?OP1|?OP2?2OP1?OP2?OP1?3??5分
2?|P??P1P2P3是正三角形??6分 1P2|?3，同理|P1P3|?|P2P3|?3，
2222（方法二）设P3(x3,y3) 1(x1,y1)，P2(x2,y2)，P?x12?y12?1?22?∵|OP，|?|OP|?|OP|?1?x2?y2?1??1分 123?22x?y?133???∵OP1?OP2?OP3?0 ，
?x1?x2?x3?0?x1?x2??x3????2分
?y1?y2?y3?0?y1?y2??y3?(x1?x2)2?(y1?y2)2?x32?y32??3分
?x12?y12?x22?y22?2x1x2?2y1y2?x32?y32，?2x1x2?2y1y2??1??4分 ?PP(x1?x2)2?(y1?y2)2即PPx12?x22?y12?y22?2x1x2?2y1y2?3 12?12??PP??PPP1P2P3是正三角形??6分 12?PP13?P2P3，13?P2P3?3，⑵OP1?P2P3??7分
?????????????证明：∵OPOP1??OP2?OP3 1?OP2?OP3?0 ，
?????????????????????????????????????????2????2?OP1?P2P3?OP1(OP3?OP2)?(?OP2?OP3)(OP3?OP2)?OP2?OP3??9分
????2????2??????????OP?OP∵|OPOP23，1?P2P3---10分 1?P2P3?0，OP1|?|OP2|?|OP3|?1，
23. 证明：⑴∵a?b?O，?O?a,O?b
∵????a，????b，?a??，b???O??,O??，即????O??3分 又∵????c，?O?c，即O?a,O?b,O?c，?a、b、c三线共点------5分
⑵a//c??6分
∵ ????a，????b，a//b，?a??,b????8分 又∵a//b，?a//???9分
又∵ a??,????c，?a//c??10分
24. ⑴直线 l 与圆C的位置关系是相离??1分
由x2?y2?x?2y?0即(x?)?(y?1)?12225得， 4圆心C(,?1)，半径r?125??3分 21?1?1522?圆心到直线 l：x?y?1?0的距离d???4分
42d?r，即直线 l 与圆C相离??5分
⑵设圆心C关于直线 l 的对称点为C'(x,y)
12,y?1)在直线 l 上，且CC'?l??6分 则C、C'的中点(22x?1?x??2?y?1?1?0?322??x??2,y???7分，解得，即对称圆的圆心为?y?12???11?x???23C'(?2,??)9分
2对称圆的半径r???10分
3255222，方程为(x?2)?(y?)?，即x?y?4x?3y?5?0
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