南京市2015－2016学年度第一学期期末学情调研
高 一 数 学
2016.01
注意事项：
1．本试卷共4页，包括填空题（第1题~第14题）、解答题（第15题~第20题）两部分．本试卷满分为100分，考试时间为100分钟．
2．答题前，请务必将自己的姓名、学校、班级、学号写在答题卡的密封线内．试题的答
．．．
案写在答题卡上对应题目的答案空格内．考试结束后，交回答题卡．
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一、填空题：本大题共14小题，每小题3分，共42分．请把答案填写在答题卡相应位置上．
1．函数f (x)＝
1
的定义域是 ▲ ． x – 3
2．集合{0，1}的子集的个数为 ▲ ． 3．求值：log345－log35＝ ▲ ．
4．已知角? 的终边经过点P(2，－1)，则sin? 的值为 ▲ ．
5．已知扇形的半径为3cm，圆心角为2弧度，则扇形的面积为 ▲ cm2． ??
6．函数f (x)＝cos (x－3)，x?[0，2]的值域是 ▲ ．
7．三个数a＝0.32，b＝log20.3，c＝20.3之间的大小关系是 ▲ （用a，b，c表示，并用“＜”连结）．
?
8．将函数y＝sin2x的图象向右平移6个单位长度，所得图象的函数解析式是 ▲ ．
D F 9．如图，在矩形ABCD中，已知AB＝3，AD＝2， →→→1→→→且BE＝EC，DF＝2FC，则AE·BF＝ ▲ ．
A （第9题）
C E B 3
10．已知函数f (x)＝x－log2x的零点为x0，若x0?(k，k＋1)，其中k为整数，则k＝ ▲ ．
?ex， x≤0，111．已知函数f (x)＝?其中e为自然对数的底数，则f [f(2)]＝ ▲ ．
?ln x，x＞0，
12．已知定义在实数集R上的偶函数f(x)在区间[0，＋?)上是单调增函数，且f (lgx)＜f (1)，
则x的取值范围是 ▲ ．
13．若函数f (x)＝m·4x－3×2x1－2的图象与x轴有交点，则实数m的取值范围是 ▲ ．
＋
?
14．若函数f (x)＝sin(ωx＋3) (ω＞0)?在区间[0，2?]上取得最大值1和最小值－1的x的值
均唯一，则ω的取值范围是 ▲ ．
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二、解答题：本大题共6小题，共58分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字
说明、证明过程或演算步骤． 15．（本小题满分8分）
4?
已知sin x＝，其中0≤x≤．
52（1）求cos x的值；
cos(－x)
（2）求的值．
?
sin(2－x) －sin(2? － x)
16．（本小题满分10分）
已知向量a＝(2，－1)，b＝(3，－2)，c＝(3，4) ． （1）求a· (b＋c)；
（2）若(a＋?b)∥c，求实数?的值．
17．（本小题满分10分）
经市场调查，某商品在过去20天的日销售量和日销售价格均为销售时间t(天)的函数，日销售量(单位：件)近似地满足：f (t)＝－t＋30(1≤t≤20，t?N*)，日销售价格(单位：元)近
?2t + 40，1≤t≤10，t?N*，似地满足：g(t)＝ ?
?15， 11≤t≤20，t?N*．
（1）写出该商品的日销售额S关于时间t的函数关系； （2）当t等于多少时，日销售额S最大？并求出最大值．
18．（本小题满分10分）
已知函数f (x)＝Asin(?x＋?)（A＞0，?＞0，0＜?＜2?）的部分图象如图所示， 5?且f (0)＝f (6)．
（1）求函数f (x)的最小正周期；
（2）求f (x)的解析式，并写出它的单调增区间．
19．（本小题满分10分）
已知| a |＝10，| b |＝5，a·b＝－5，c＝x a＋(1－x) b． （1）当b ? c时，求实数x的值；
（2）当| c |取最小值时，求向量a与c的夹角的余弦值．
O ?6 –2 （第18题）
● ● y 5?6 x
20．（本小题满分10分）
对于定义在[0，＋?)上的函数f (x)，若函数y=f (x)－(ax＋b)满足：①在区间[0，＋?)上单调递减；②存在常数p，使其值域为(0，p]，则称函数g (x)＝ax＋b为f (x)的“渐近函数”． x2＋2x＋3（1）证明：函数g(x)＝x＋1是函数f (x)＝，x?[0，＋?)的渐近函数，并求此时
x＋1
实数p的值；
（2）若函数f (x)＝x2＋1，x?[0，＋?)的渐近函数是g (x)＝ax，求实数a的值，并说明
理由．
南京市2015－2016学年度第一学期期末学情调研
高一数学参考答案 2016.01
说明：
1．本解答给出的解法供参考．如果考生的解法与本解答不同，可根据试题的主要考查内容比照评分标准制订相应的评分细则．
2．对计算题，当考生的解答在某一步出现错误时，如果后续部分的解答未改变该题的内容和难度，可视影响的程度决定给分，但不得超过该部分正确解答应得分数的一半；如果后续部分的解答有较严重的错误，就不再给分．
3．解答右端所注分数，表示考生正确做到这一步应得的累加分数． 4．只给整数分数，填空题不给中间分数．
一、填空题：本大题共14小题，每小题3分，共42分．
5
1． (3，＋?) 2．4 3．2 4．－5 1?
5． 9 6．[2，1] 7．b＜a＜c 8． y＝sin(2x－3) 11
9． －4 10．2 11．2 12．(10，10) 713
13． (0，＋?) 14．[12，12) 二、解答题：本大题共6小题，共58分． 15．解（1）因为sin 2x ＋cos2 x＝1，
49
所以cos 2x＝1－sin2 x＝1－(5)2＝25． ????????? 2分
3?
又因为0≤x≤2，故cos x≥≤0，所以cos x＝5． ??????? 4分 cosx
（2）原式＝
cosx―(―sinx)
＝
cosx
????????? 7分
cosx＋sinx35
3
＝34＝7． ????????? 8分 5＋516．解（1）因为b＋c＝(3，－2)＋(3，4)＝(6，2)， ????????? 2分 所以a·(b＋c)＝(2，－1)·(6，2)＝12－2＝10． ????????? 5分 （2）因为a＋?b＝(2，－1)＋(3?，－2?)＝(2＋3?，－1－2 ?)， 又(a＋?b)//c，
所以4(2＋3 ??＝3(－1－2 ?)， ????????? 8分 11
解得?＝－18． ????????? 10分
17．解（1）由题意知，S＝f (t)·g(t)
?(2t＋40)(－t＋30)，1≤t≤10，t?N*，＝? ???? 4分 ?15(－t＋30)， 11≤t≤20，t?N*．
（2）当1≤t≤10，t?N*时，
S＝(2t＋40)(－t＋30)＝－2 t2＋20t＋1200＝－2 (t－5)2＋1250．
因此，当t＝5时，S最大值为1250； ????????? 7分 当11≤t≤20，t?N*时，
S＝15(－t＋30)＝－15t＋450为减函数，
因此，当t＝11时，S最大值为285． ????????? 9分