?31sin2?x?cos2?x?122
?sin(2?x?)?16∵T?由2k???2?1??2? ∴?? ∴f(x)?sin(x?)?1 2?62?2?x??6?2k???2，得f(x)的单调递增区间为[2k??2??,2k??](k?Z) 33（Ⅱ）∵(2a?c)cosB?bcosC 由正弦定理得(2sinA?sinC)cosB?sinBcosC
?2sinAcosB?sinBcosC?cosBsinC?sin(B?C)?sinA
∵A?(0,?) ∴sinA?0 ∴cosB? ∵0?A?1?，从而B? 232???5?1? ∴?A????sin(A?)?1 366626?3∴f(A)?sin(A?)?1?(,2]
62
19. （本小题满分12分）
解法1：（Ⅰ）∵PA⊥平面ABCD， AD?平面ABCD， ∴PA?AD ∵AB?AD，且PA?AB?A ∴AD?面PAB
∵PB?平面PAB， ∴AD?PB．（注：也可使用“三垂线定理”证明） （Ⅱ）∵AD∥BC ∴?PCB是异面直线AD与PC所成角或其补角 由（Ⅰ）知AD?PB ∴BC?PB 在Rt?PAB中，PB?PA2?AB2?10 2PB10∵BC?2 ∴在Rt?PBC中，tan?PCB? ?BC4故异面直线AD与PC所成角的正切值为10 4（Ⅲ）取BD中点E，连接AE、PE ∵AB?AD?1 ∴BD?AE
∵PA⊥平面ABCD， BD?平面ABCD， ∴PA?BD 又∵PA?AE?A ∴BD?平面PAE
∵BD?平面PBD ∴平面PAE?平面PBD ∴直线PA与平面PBD所成的角为?APE 在Rt?PAE中 ，PA?∴?APE?
解法2：以A为原点，AB、AD、AP所在直线为坐标轴建立坐标系如图，则A(0,0,0),B(1,0,0),C(1,2,0),
632，AE? ∴tan?APE? 232?6，即直线PA与平面PBD所成的角为
? 6高三第一次统考 数学试卷（理工类） 第 6 页 共 10 页
D(0,1,0),P(0,0,6) 2????????????????6（Ⅰ）∵AD?(0,1,0)，BP?(?1,0,) ∴ AD?BP?0
2 故AD?PB
z????????6（Ⅱ）∵AD?(0,1,0)，PC?(1,2,?)
2????????????????AD?PC|28， ∴cos?AD,PC??|??????????13|AD|?|PC|132yx(O)????????故sin?AD,PC??????????51010,故异面直线AD与PC所成角的正切值为 ?tan?AD,PC??1344??????6???6???6（Ⅲ）∵DP?(0,?1,),BP?(?1,0,),AP?(0,0,)，
222?z?0??x??2设平面PDB的法向量为n?(x,y,z)，则有?，令z?6，则x?y?3
??y?6z?0??2?6??????AP?n??|?∴n?(3,3,6)，设直线PA与平面PDB所成的角为? ∴sin??|???|AP|?|n|36?262?1 2∴???6，所以直线PA与平面PDB所成的角为
? 6
20. （本小题满分12分）
解：（Ⅰ）f?x?与g?x?互为反函数，由g?1??0得f?0??1
1?f0??1???1b? （x?0） ，得a?2,b?1， 所以f?x??212?12x?1??f(2)?1a?b3??4 故f?x?在?0,???上是减函数，从而 0?f(x)?f?0??1 ∴f(x)的值域为?0,1? （Ⅱ）由（Ⅰ）知f?x?是?0,??? 上的减函数， ∴g?x?是?0,1?上的减函数，
设f(t)?m?12m?11111212)??g()?g() ，从而g(?2=?t= ?g()?424222t?12222高三第一次统考 数学试卷（理工类） 第 7 页 共 10 页
2?m4??m?3m?4?0故 ? 解得 ?m?3且m?2 m?110???13?42?4∴m的取值范围为[,2)?(2,3)
3
21. （本小题满分12分） 解:（Ⅰ）当n?1时，a1??1，
当n?2时，an?Sn?Sn?1?2an?2an?1?1 ∴an?2an?1?1 ∴
an?1?2， ∴数列{an?1}是首项为?2，公比为2的等比数列．
an?1?1故an?1??2?2n?1??2n， 从而 an??2n?1 又∵b1?a2??3,b5?a4??15，则数列{bn}的公差d?（Ⅱ）由（Ⅰ）知
?15?(?3)??3， ∴bn??3n
5?1bn3n?n， an?123?13?23?33?n?2?3???n， 222213?13?23?(n?1)3?n?????n?1 从而Tn?222232n23n?6由错位相减法得Tn?6?
2n∴Tn??n2?6n?8?(n?2)(n?4)1n2?12n?41??则不等式Tn?， ??6，即为n?1n?1222man?1?12m?(n?2)(n?4)，可知f(2)?f(4)?0,f(3)?0,f(1)?0，且当n?5时，f(n)?0
2n?1111?∴f(n)max?f(3)? ∴ ∵m?0 ∴m?8,故正整数m的最大值为7.
16162m设f(n)?
22.（本小题满分14分）
32/2解：（Ⅰ）当x?1时，f(x)??x?x?bx?c， ∴f(x)??3x?2x?b /2依题意f(?1)??5 ∴?3(?1)?2(?1)?b??5 ∴b?0
又f(0)?0有c?0 ∴b?0，c?0
32/2（Ⅱ）当x?1时，f(x)??x?x，f(x)??3x?2x， 2/令f(x)?0有?3x?2x?0，∴x?0，x?
2 3
高三第一次统考 数学试卷（理工类） 第 8 页 共 10 页
x f/(x) （-1，-1 0） 0 （0，2） 3+ 2 3（231 ，1） — 0 0 — f(x)2 ∵f(?1)?2 ，f(0)?0，f()?↘ 0 ↗ 4 27↘ 0 234，f(1)?0. ∴当x?[?1,1)时，f(x)最小值为0 27而x??1,2?时，当a?0时，f(x)?alnx是增函数，f(x)min?f(1)?0
当a?0时，f(x)?0， ∴当a?0时f(x)min?0；
当a?0时，f(x)?alnx是减函数，则f(x)min?f(2)?aln2?0 ∴在[?1,2]上，f(x)min??(a?0)?0
?aln2(a?0)（Ⅲ）设P（x1，f(x1)），因为PQ中点在y轴上，所以Q（-x1，f(?x1)） ∵OP?OQ ∴
f(x1)f(?x1)???1 ① x1?x1（ⅰ）当x1?1时，f(x1)?0；当x1??1时，f(?x1)?0 ∴①不成立 （ⅱ）当?1?x1?1时，f(x1)??x1?x1，f(?x1)?x1?x1，
3232?x13?x12x13?x12代入①得???1 ∴(?x12?x1)(x12?x1)?1?x14?x12?1?0，无解
x1?x1（ⅲ）当x1?1时，f(x1)?alnx1，f(?x1)?x1?x1
321alnx1x13?x12代入①得???1， ∴?(x1?1)lnx1 ②
ax1?x1设g(x1)?(x1?1)lnx1（x1?1） ∴g(x1)?lnx1?/x1?1?0，则g(x1)是增函数 x1∵g(1)?0 ∴g(x1)值域是(0,??)， ∴对任意给定的正实数a，②恒有解，满足条件
3（ⅳ）由P,Q横坐标的对称性同理可得，当x1??1时，f(x1)??x1?x12，f(?x1)?aln(?x1)
高三第一次统考 数学试卷（理工类） 第 9 页 共 10 页
1?x13?x21aln(?x1)代入①得???1， ∴?(?x1?1)ln(?x1) ③
ax1?x1设h(x1)?(?x1?1)ln(?x1)（x1??1） ∴h(x1)??ln(?x1)?/x1?1?0，则h(x1)是减函数 x1∵h(?1)?0 ∴h(x1)值域是(0,??)， ∴对任意给定的正实数a，③恒有解，满足条件 综上所述，满足条件的点P的横坐标的取值范围为(??,?1)?(1,??) 高三第一次统考 数学试卷（理工类） 第 10 页 共 10 页