2015年深圳市高三年级第二次调研考试
数学（理科）试题参考答案及评分标准
一、选择题：本大题共8个小题；每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，有且只有一
项是符合题目要求的．
题号 答案 1 D 2 A 3 B 4 C 5 B 6 D 7 B 8 B 二、填空题：本大题共7小题，考生作答6小题，每小题5分，满分30分．本大题分为必做题和选
做题两部分．
（一）必做题：第9、10、11、12、13题为必做题，每道试题考生都必须作答． 9．??2,3? 10．
0.2 11．
2 12．66 13． 充分非必要
（二）选做题：第14、15题为选做题，考生只能选做一题，两题全答的，只计算前一题的得分． 14．（坐标系与参数方程选做题）2 15．（几何证明选讲选做题）23 三、解答题：本大题6小题，满分80分．解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤． 16．（本小题满分12分）
设函数f(x)?Acos(2x??)（其中A?0，0???π，x?R）．已知x?最小值?2．
（1）求函数f(x)的解析式； （2）若角?满足2sin(??π时，f(x)取得6ππ)?f(?)，且0?θ?π，求sin(??)的值． 33解：（1）由f(x)最小值?2且A?0，所以A?2． ????????????????1分
因为f()??2，所以cos(π6π??)??1， ????????????????????2分 3
6
由0???π可得
ππ4ππ????，所以???π， ???????????????3分 3333所以??2π． ????????????????????????????????4分 3故f(x)的解析式为f(x)?2cos(2x?2π)． ???????????????????5分 3π32π)， 3ππππ即sin(??)?1?2sin2(??)，2sin2(??)?sin(??)?1?0， ????????8分
3333ππ1所以sin(??)??1或sin(??)?． ??????????????????10分
332 （2）（法1）由（1），得sin(??)?cos(2??又0???π，所以所以sin(??)?ππ4π????． ???????????????????11分 3331． ???????????????????????????12分 2π2π（法2）由（1），得sin(??)?cos(2??)，
33π2π即cos(??)?cos(2??)． ?????????????????????8分
632ππ2ππ所以2???2kπ???或2???2kπ???，k?Z． ??????????10分
36362kππ5π即???或??2kπ?，k?Z．
366π
又0???π，所以??． ??????????????????????11分
2
π1所以sin(??)?． ???????????????????????????12分
32【说明】本题主要考查y?Acos(?x??)的性质，倍角公式、解三角方程、特殊角的三角函数值，考查学生的运算能力． 17．（本小题满分12分）
深圳市于2014年12月29日起实施汽车限购政策．根据规定，每年发放10万个小汽车名额，其中电动小汽车占20%，通过摇号方式发放，其余名额通过摇号和竞价两种方式各发放一半．政策推出后，在全市有购车意向的市民中，某网站针对不同年龄段的申请意向进行了抽样调查，结果如下表所示：
申请意向 年龄 30岁以下 （含30岁） 30至50岁 （含50岁）
π3摇号 电动小汽车（人数） 非电动小汽车（人数） 50 50 100 150 竞价（人数） 50 300 合计 200 500 7
50岁以上 合计 100 200 150 400 50 400 300 1000 （1）采取分层抽样的方式从30至50岁的人中抽取10人，求其中各种意向人数； （2）在（1）中选出的10个人中随机抽取4人，求其中恰有2人有竞价申请意向的概率； （3）用样本估计总体，在全体有购车意向的市民中任意选取4人，其中摇号申请电动小汽车意向的人数记为?，求?的分布列和数学期望．
解：（1）因为30至50岁的人中有意向参与摇号电动小汽车、非电动小汽车和竞价的人数占总体的比例分别为：
50115033006?、? 、?． ???????????????2分 500105001050010所以，抽取的人10人中摇号电动小汽车、非电动小汽车和竞价的人数分别为：
136?10?1人、?10?3人、?10?6人． ??????????????4分 101010（2）由题意可知，在上述10人中有竞价申请意向的人数为10?所以，4人中恰有2人竞价申请意向的概率为
22C6C4300?6人， 5004C10（3）n?4，?的可能取值为0,1,2,3,4． ???????????????7分
2001因为用样本估计总体，任取一人，其摇号电动小汽车意向的概率为p??，?????8分
100051所以，随机变量?服从二项分布，即?～B(4,)． ????????????????9分
504131?2561?2560?1??1?1?? P(??0)?C4???1???，P(??1)?C4???1???，
5562555625?????????3． ?????????????6分 7 P(??2)2?1??C4??961?16?1?3?1??，P(??3)?C4， ?1??????1???625?5??5??5??5?625422314?1? P(??4)?C4???5?1?1?． ?1???625?5?0即?的分布列为：
? P 0 256 6251 256 6252 96 6253 16 6254 1 625 ?????????????????????????????11分 ?的数学期望为：E??np?4?14?． ????????????????12分 55【说明】本题主要考查分层抽样、排列组合、古典概型、二项分布等知识，考查了考生读取图表、数据处理的能力． 18．（本小题满分14分）
如图4，已知三棱锥O?ABC的三条侧棱OA，OB，OC两两垂直，△ABC为等边三角形，
8
M为△ABC内部一点，点P在OM的延长线上，且PA?PB．
（1）证明：OA?OB；
（2）证明：平面PAB?平面POC；
（3）若AP:PO:OC?5:6:1，求二面角P?OA?B的余弦值． 证明：（1）因为OA，OB，OC两两垂直， 所以OA2?OC2?AC2，OB2?OC2?BC2．
又△ABC为等边三角形，AC?BC， 所以OA2?OC2?OB2?OC2，
故OA?OB． ????????????????????????????3分 （2）因为OA，OB，OC两两垂直，
OC?OAOC?OB所以，
OA?OB?O?????OC?平面OAB， ?OA,OB?平面OAB??而AB?平面OAB，所以AB?OC． ??????????????????????5分
取AB中点D，连结OD，PD． 由（1）知，OA?OB，所以AB?OD． 由已知PA?PB，所以AB?PD．
AB?ODAB?PD所以，
OD?PD?D?????AB?平面POD， ?OD,PD?平面POD??而PO?平面POD，所以AB?PO． ???????????????????7分
AB?OCAB?PO所以，
OC?PO?O?????AB?平面POC， ?OC,PO?平面POC??P又AB?平面PAB，所以，平面PAB?平面POC． ????????????????9分 解：（3）（法一）由（2）知AB?平面POD， 所以平面OAB?平面POD， 且平面OAB平面POD?OD，
?MBC
9
OD
过点P作PH?平面OAB，且交OD的延长线于点H，连接AH， 因为PA?5OC，OP?6OC，
由（1）同理可证OA?OB?OC， 在△POA中，OP?PA?OA， 所以OA?PA，又因为PH?OA， 所以OA?平面PAH，
所以?PAH为二面角P?OA?B的平面角， ??????????????????11分 在直角△PHA中，cos?PAH?222AH， ????????????????????12分 PA由（2）知?AOD?45?，所以△OAH为等腰直角三角形， 所以AH?OA?OC，所以cos?PAH?AH5， ?PA5所以，二面角P?OA?B的余弦值为
5． ???????????????????14分 5（法2）如图6，以OA，OB，OC所在的直线分别为x，y，z轴，建立空间直角坐标系． 由（1）同理可证OA?OB?OC， 设OA?OB?OC?1，则A(1,0,0)，B(0,1,0)，C(0,0,1)，
OA?(1,0,0)，AB?(?1,1,0)．
设P(x,y,z)，其中x?0，y?0，z?0． 由OP?(x,y,z)，AP?(x?1,y,z)．
由（2）知OP?AB，且PA?5OC?5，OP?P6OC?6， zC?(?1)?x?y?0??222得?x?y?z?6． ?222x?1?y?z?5????
解之，得x?y?1，z?2． ???????????11分 所以，OP?(1,1,2)
设平面POA的法向量为n1?(x1,y1,z1)，
?MO ABy?x1?0由n1?OA，n1?OP，得?．
x?y?2z?0?111取z1?1，得y1??2，n1?(0,?2,1)．
x图6
由（2）知，平面OAB的法向量为n2?OC?(0,0,1)， ???????????????13分
10