记二面角P?OA?B的平面角为?，由图可得?为锐角， 所以cos??|cos?n1,n2?|?0?(?2)?0?1?11?55所以，二面角A?PC?B的余弦值为． ????????????????????14分
5【说明】本题主要考察空间点、线、面的位置关系，线面垂直、面面垂直的判定与性质，用空间向量求二面角，考查空间想象能力、运算能力和逻辑推理能力． 19．（本小题满分14分）
设数列{an}的前n项和为Sn，满足Sn?an?1?n?2n?3?4，n?N*，且a1,S2,2a3?4成等比数列．
（1）求a1，a2，a3的值；
?5． 5an，n?N*，求数列?bn?的通项公式； n234n?2????1． （3）证明：对一切正整数n，有?a1a2an （2）设bn??a1(2a3?4)?(a1?a2)2,?解：（1）由已知，得?a1?a2?20, ????????????????2分
?a?a?a?68.3?12解之，得a1?4，a2?24，a3?96． ???????????????????4分 （2）（法1）因为Sn?an?1?n?2n?3?4，n?N*， ??① 所以Sn?1?an?(n?1)?2n?2?4，其中n?2． ??②
①?? ②，并整理得an?1?2an?(n?1)?2n?2，n?2， ???????????6分
即bn?1?bn?2(n?1)，n?2．
b3?b2?2?3?b4?b3?2?4?? 所以，?相加，得bn?b2??n?2??n?3?． ???????????8分
???????bn?bn?1?2n?? 由（1）知a2?24，所以b2?6，所以n?2时，bn?n?n?1?， ????????9分 又a1?4，b1?2也符合上式，
所以，数列?bn?的通项公式为bn?n?n?1?，n?N*． ?????????????10分 （法2）因为Sn?an?1?n?2n?3?4，n?N*， ??① 所以Sn?1?an?(n?1)?2n?2?4，其中n?2． ??②
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①?? ②，并整理得an?1?2an?(n?1)?2n?2，n?2，
即bn?1?bn?2(n?1)，n?2． ???????????????????????6分
由（1）知a1?4?1?2?2，a2?24?2?3?22，a3?96?3?4?23． 可得b1?2?1?2，b2?6?2?3，b3?12?3?4．
猜想bn?n?n?1?，n?N*． ??????????????????????8分 以下用数学归纳法证明之：
（i）当n?1时或n?2时，猜想显然正确．
（ii）假设n?k（k?2）时，猜想正确，即bn?k?k?1?． 那么n?k?1时，bk?1?bk?2(k?1)
?k(k?1)?2(k?1)
?(k?1)?(k?2)．
?(k?1)?(k?1)?1?
即n?k?1时，猜想也正确．
由（i）（ii），根据数学归纳法原理，对任意的n?N*，猜想正确．
所以，数列?bn?的通项公式为bn?n?n?1?，n?N*． ?????????????10分
n?2n?211???， ????12分 ann(n?1)?2nn?2n?1(n?1)?2n34n?234n?2???????所以，??
a1a2an1?2?212?3?22n(n?1)?2n （3）对一切正整数n，因为
?1?1??11?1?1???????????n?2n?1(n?1)?2n? 01121?22?22?23?2??????1?1． ???????????????14分 ?1?n(n?1)?2 ??【说明】本题主要考查等比数列的定义，处理Sn与an的递推公式，用累加法求数列通项，数学归纳法，理解裂项求和，考查考生运算求解、推理论证、归纳猜想的能力． 20．（本小题满分14分）
已知动点M(x,y)和定点N(0,1)， MN的中点为P．若直线MN，OP的斜率之积为常数? (其中O为原点，?1???0)，动点M的轨迹为C． （1）求曲线C的方程；
（2）曲线C上是否存在两点A、B，使得△NAB是以N为顶点的等腰直角三角形？若存在，指出这样的三角形共有几个；若不存在，请说明理由． 解：（1）设直线MN，OP的斜率分别为k1，k2，因为P(xy?1,)， ??????1分 22
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y?1y?1所以k1? （x?0），k2?2 （x?0）， ??????????????3分
xx2由k1k2??可得：
?y?1????y?1???2???（x?0）， ??????????????4分 xx?2化简整理可得??x2?y2?1（x?0），
所以，曲线C的方程为??x2?y2?1（x?0）． ???????????????5分 （2）由题意N?0,1?，且NA?NB，当直线NA的斜率为0，则N与A重合，不符合题意， 所以直线NA、NB的斜率都存在且不为0，设直线NA的斜率为k， 所以直线NB的斜率为?1，不妨设k?0， k1x?1，?????????6分 k所以直线NA的方程为y?kx?1，直线NB的方程为y???y?kx?122将直线NA和曲线C的方程联立，得?，消y整理可得?k???x?2kx?0， 22???x?y?1解得xA??2k2k2NA?1?k?，所以， 22k??k??以?11替换k，可得NB?1?2?kk12k???1?k2?21??k2， ??????????8分
k由NA?NB，可得1?k?222k22?1?k?， ????????????9分
k2??1??k2232?k????1?k???所以?k?k?k???0，即?k?1?????0，???????????10分
（1）当 ?1????1时， 3222 方程?k????1?k???0有?????1??4????3??1????1??0，
2?k????1?k??? 所以方程?k?1?????0有唯一解k?1； ???????????11分
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2（2）当???时，?k?1????k????1?k??????1313?k?1??0，解得k?1； ???12分 3（3）当?12???0时，方程?k2????1?k???0有?????1??4?2???3??1????1??0， 3 且??12????1??1???3??1?0，
2?k????1?k???所以方程?k?1?????0有三个不等的根．
综上，当 ?1????11时，有一个圆符合题意；当????0时，有三个符合题意的圆． 33 ????????????????????????????????14分
（注：（3）也可直接求解： 当?12???0时， 方程?k2????1?k???0，因为?????1??4?2???3??1????1??0， 3所以k1,2????1??3??1??1???2?，又因为??12????1??1???3??1?0，
2?k????1?k???所以k1,2?1，故方程?k?1?????0有三个不等的根．）
【说明】本题主要考查曲线与方程，直线与椭圆的位置关系，弦长问题，一元二次方程根的个数问
题，考查考生数形结合、函数与方程的数学思想方法及运算求解能力． 21．（本小题满分14分）
已知函数f(x)?lnx?ax?其中a,b为常数．
（1）若f(x)的图象在x?1处的切线经过点(0,?5)，求a的值；
b1，对任意的x?(0,??)，满足f(x)?f()?0， xxa2)?0； （2）已知0?a?1，求证：f(2（3）当f(x)存在三个不同的零点时，求a的取值范围． 解：（1）在f(x)?f(1)?0中，取x?1，得f(1)?0， x 又f(1)?ln1?a?b??a?b，所以b?a． ??????????????1分
a11，f?(x)??a(1?2)，f?(1)?1?2a． xxx?5?f(1)?5， 又f?(1)?0?1所以1?2a?5，a??2． ????????????????????????3分
a2a2a322a3???2lna???ln2． （2）f()?ln222aa2从而f(x)?lnx?ax?
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223x2?3x4?4(x?1)2x3?ln2，则g?(x)??2?? 令g(x)?2lnx??． 2x2xx22x所以，x?(0,1)时，g?(x)?0，g(x)单调递减， ?????????????5分
1 故x?(0,1)时，g(x)?g(1)?2??ln2?1?lne?0．
2a2所以，0?a?1时，f()?0． ????????????????????7分
211?ax2?x?a （3）f?(x)??a(1?2)?． 2xxx ①当a?0时，在(0,??)上，f?(x)?0，f(x)递增，
所以，f(x)至多只有一个零点，不合题意； ????????????????8分 ②当a?1时，在(1,??)上，f?(x)?0，f(x)递减， 2所以，f(x)也至多只有一个零点，不合题意； ??????????????10分 ③当0?a?11?1?4a1?1?4a时，令f?(x)?0，得x1??1，x2??1． 22a2a此时，f(x)在(0,x1)上递减，(x1,x2)上递增，(x2,??)上递减，
所以，f(x)至多有三个零点． ??????????????????????12分 因为f(x)在(x1,1)上递增，所以f(x1)?f(1)?0．
a2a2 又因为f()?0，所以?x0?(,x1)，使得f(x0)?0． ???????????13分
221 又f()??f(x0)?0，f(1)?0，
x01所以f(x)恰有三个不同的零点：x0，1，．
x01 综上所述，当f(x)存在三个不同的零点时，a的取值范围是(0,)． ??????14分
2【说明】本小题主要考查函数、导数、不等式证明等知识,包括函数的极值、零点，二次方程根的分布等知识，考查考生综合运用数学知识解决问题的能力，同时也考查函数与方程思想、化归与转化思想.
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